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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^b5-b}a  
kGBo8tD  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. K $ 'T6|  
aa%<F>/'-  
　　1、三角函数本质： B[_\1r#S/  
Md'4=  
　　三角函数的本质来源于定义 H (=URA'  
`H3!G Dg2  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 QpBN{q`PA"  
W`cz8m~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 mmf=kL[  
 ;D3D^ZTN  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： rt2/l; Fv  
X=zKy`|@i  
　　推导： $j >XIa  
 0G"-ux  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {<H j"q)f  
ih=-h4ag  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >'%?bR~t  
=N  1 Fe  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4#"_[c   
b})b_nn"M  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4f5drAv  
oC6-`kL  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） lnYvfk6n  
B> 0\TN:O  
　　[1] !.tap3  
"*&aO@O  
　　两角和公式 g$\J,>|*{  
iaZ05^#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S[SI[~;6  
fuoj  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $(nuPh{5  
tVY ruaz$]  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB V]CeHpS  
Za'd d-*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %y6^y`P#6  
]8T$25nM  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) idquV$o8  
&Sy%O "]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) D`1gjZ-fk  
Eu$TXgU  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6w mhoc 0  
UZj"[f  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 'u:w0yNo  
\]lk-r+2  
倍角公式 ~B2F[bIw  
,g1ors7  
　　Sin2A=2SinA•CosA (1v4PVZ  
o{zs<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 6{XL} *NF  
lLBM *,-  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） '/vr^GK,}  
*Z_8H|4IW=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?_B3rXo  
gk/1&>z  
三倍角公式 k EZ+0,f=  
XsJ=\Te-k  
　　 F;) m$V  
-e)vmy# J  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ct?> .dF  
kact* B_n  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) i/I*'p)d  
(!YsH<#  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .wvl+p^  
dGQa6ljK  
三倍角公式推导 3zt\!`J  
gNi N.  
　　sin3a TJ_>p/gv  
m7Hd*I)I  
　　=sin(2a+a) d3-x~yVbm  
ukX `   
　　=sin2acosa+cos2asina hG@WfM]y  
q*6uz.c2  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8-0("1}{U  
<+,BYLR ,  
　　=3sina-4sin³a aZL2 %$]0S  
]S][Qcl0N  
　　cos3a d<&T#V\  
82LT]  
　　=cos(2a+a) -Qdn6xez,  
zM(~_O>oY  
　　=cos2acosa-sin2asina 6l[X}'pJ3E  
xwJ[X%hi  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa } {9ZR^]l  
Z#x+R?K  
　　=4cos³a-3cosa dk?r@qp {  
^xAz=o8_y  
　　sin3a=3sina-4sin³a 1|BUb?6  
>qp>u?>$  
　　=4sina(3/4-sin²a) CB8;g v   
pJj cqz{@q  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @74*s_9X  
dFIAYb]<dF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Z^l O"  
gXW<0(oN  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) GBd$ ?  
jRmUtWcJ%  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ER'm>n"  
{0oVQ\  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)  P`!]jzV  
@nqb zQO  
　　cos3a=4cos³a-3cosa %;={wTK%  
@aG0xN2Q  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,V)R\PK  
Z%Q$6$tN  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] a}i=r K  
\0'uXL  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) V^N|&U%VC  
DjBMXn>  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ;C{XI] \0  
;! kw Xnx  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #-q-P;MP  
{T J-6q7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =??tTV  
KlQ7,oa  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] DyR ]U :O  
6Z4jQ*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .>Sr3v  
hz`$d"&  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) T9A":lE  
);Rd`GV4Q  
　　上述两式相比可得 !XGe,WS2"J  
nHQ?.Vr>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )S/^nII  
v)d>Jv  
半角公式 |}GIBojk  
hQb v!  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =ke oTM<j!  
}`{z|;E@O  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. W'Je{Q$  
;9jvG"}  
和差化积 0&xvs$sRn  
`4^e  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3:0{`C(  
Az~!Pif  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rsd ||U3  
3&?}{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] yXhDZehx  
5lj%Dl('P  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2L{fD@u:>  
H#r/ev&j  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) iUi<F1z  
/MXuHD ,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) /l6 6st-  
n,)nwYlg)  
积化和差 ) "F92mma  
 G9DA3(  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5!"@}i+_  
RI>P1 C  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] S^.wy'\>+  
10 `.E7 P  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] :0;/l@p9  
aoC%BWO  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?Wox_P}7[  
K ]J ;Z&  
诱导公式 pVY, one  
1T#BAV%=L  
　　sin(-α) = -sinα %k%FkW%k  
jxQz?V  
　　cos(-α) = cosα 5uLzMAam  
a]k>P4lO]  
　　sin(π/2-α) = cosα 7=FXC /S/  
eGSLlwAvf  
　　cos(π/2-α) = sinα D@OBS6  
RI<>s"?  
　　sin(π/2+α) = cosα v1q#P7}NK  
N sZ.ea  
　　cos(π/2+α) = -sinα nJ> U;bd  
:o G*HBx!  
　　sin(π-α) = sinα O9I;4HX=Q  
T>`mMs#  
　　cos(π-α) = -cosα e6]CH+a  
vh K*HSov  
　　sin(π+α) = -sinα .rm),"u4D  
p1Gd.^_|E  
　　cos(π+α) = -cosα baYppq/%  
[w$jB,O9  
　　tanA= sinA/cosA iUnsY@gaD  
~`tF. d  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα }Pa7Gz%V  
13^Trfl~h  
　　tan（π/2－α）＝cotα m0 ]K  
3)Q_C  
　　tan（π－α）＝－tanα GV7(Mb;Vu  
5<rj6}])  
　　tan（π＋α）＝tanα 8+:!VT\  
8 o+n48M  
万能公式 @TV,"?s<Rg  
VQLDy5'  
　　 ^XaW'e+nL<  
}I{1s_eS  
其它公式 WO;6a< `3  
'?|mEGd_t  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 h-B;'P0  
)Dl^;i!  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Pob&J&  
]D:nU!=  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 '3m)il  J  
C}Po&D  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  t4fY  
,MN:,6  
　　对于任意非直角三角形,总有 znEGBV\Q  
]M;CJdh,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 57PL&1  
R/XCEH  
　　证: PnFYxD+)r  
qCL.gL4.  
　　A+B=π-C EueY#sECs  
i3l; >SDG  
　　tan(A+B)=tan(π-C) RxQ8d'$ #  
mK '<bEcc  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |e'X5N~@t  
#e-y HW  
　　整理可得 EgX#$#^iH  
#WWRTBD  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC mcEaW  
qC%O|kS _  
　　得证 !wTroskm  
2>,( +RV  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =ig$p&AS  
CwzVjeZ  
其他非重点三角函数 { aXrj{  
lKot m  
　　csc(a) = 1/sin(a) kQk]H`[1  
F+}d9'x  
　　sec(a) = 1/cos(a) 6/=?dV3LB  
O#XQc{X3  
　　 (T&$S  
xZJl7^"  
双曲函数 #3;9NK+<  
r ;'9_D,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 F#m>dM P  
tS&Tv6#R  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p6c9QsI!A  
kv$VO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b]K 9T|e3V  
k-$sZak'u  
　　公式一： n"c17NF^r  
ep+]NbN|g  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： f G&Q.~E~z  
C r{{iY  
　　sin（2kπ＋α）= sinα *^)\ON7  
#-eq( ?  
　　cos（2kπ＋α）= cosα NqQ0Bg i0  
O*A8W3Xx  
　　tan（kπ＋α）= tanα QM8nq  
%[A{kZ??  
　　cot（kπ＋α）= cotα [51:x-Pq2  
6BN%V  
　　公式二： tkzoX faN  
cE (s`:8  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9S!.0ocd  
%+J*#q"Aa  
　　sin（π＋α）= -sinα ;ig ;B`K+  
CDmpUF _  
　　cos（π＋α）= -cosα Sl0sch0  
c-"Z,Jf  
　　tan（π＋α）= tanα A+)qtfemV  
A w+: PmGV  
　　cot（π＋α）= cotα $B:YSE:  
:3tU?Uef  
　　公式三： a%oCix[<  
k eh[F0a  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： e8H_$  
Oy\?Cn?ADP  
　　sin（-α）= -sinα {[oftjj:P  
`f[B1h=:  
　　cos（-α）= cosα [_xL H)l  
[vu(e.[.]  
　　tan（-α）= -tanα Xh>Q*s  
]hC4@ Y  
　　cot（-α）= -cotα W@y8_AP  
LYk~0!  
　　公式四： CU0OGe  
\nL<5~ji2W  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： QeFkJJ1  
Em%vp  
　　sin（π-α）= sinα "nw6 0  
i?^w{  
　　cos（π-α）= -cosα 9MkP}$'aY  
peYB5!<x  
　　tan（π-α）= -tanα *y I9YHf2  
z:&yI[#  
　　cot（π-α）= -cotα C~'  r*I$  
Bbr`S\f A  
　　公式五： {<3i <R6  
[,Tn$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %gJu+:e2~  
z o%[6:5G  
　　sin（2π-α）= -sinα M B|#6EFB  
01.0uG  
　　cos（2π-α）= cosα J:Lx7*%s  
VVkM{&Qu  
　　tan（2π-α）= -tanα (7q<  
k $[$H<H  
　　cot（2π-α）= -cotα M=r^38!  
[B$v>FQ1  
　　公式六： r/xb|wn>&<  
e){C7rf>e  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 1sbIpq]"Z  
iWwPcgj  
　　sin（π/2+α）= cosα  Qc   
f0hg!]CG  
　　cos（π/2+α）= -sinα L]NDKr4  
Y2ZL TZ\  
　　tan（π/2+α）= -cotα do.ma3  
rR_jWM'3\  
　　cot（π/2+α）= -tanα X [9CXq  
oM ^W:?  
　　sin（π/2-α）= cosα JF{gW]-  
O`LRC|*  
　　cos（π/2-α）= sinα q+<!]'  
5@AgyopV!C  
　　tan（π/2-α）= cotα K>i8F&P:  
M&2CpUk  
　　cot（π/2-α）= tanα q6t(Z_ e  
$c1D>%"e  
　　sin（3π/2+α）= -cosα (;U(gUW~F  
asm3:/gZ  
　　cos（3π/2+α）= sinα oQh1}V|  
&:l:u-\9i  
　　tan（3π/2+α）= -cotα +sx49 U;>7  
Jy -wKp~f6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [$x*< wN  
$_a9`}#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα \&Xmbm@  
t{[ZM,u+9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @_0Mh +>pN  
JYO|D &#  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9O3,eJ0|k.  
/QJlb{8Ti  
　　cot（3π/2-α）= tanα 6;rA v>  
K,c@ib  
　　(以上k∈Z) :Ge)t^y <  
#jabO1*xC  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 c:n,8 4Tq  
,jC+ep\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jmr0i",3  
Vx_K11V  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } @I3yb0c  
fos(ep<^w  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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