三角函数内容规律 Z;MSkV<&m
]%.W7YX!
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Hl5a^l
w+grLXN
1、三角函数本质: -{|iN8]
}W~>T^@
三角函数的本质来源于定义 p.F=\Uk
}m>$ }FX
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 +0Kw@|
ju!oA-##
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 J56X
;g<
df-1+Zr
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: *a:TvG
TwZ9a0Z
推导: @a:A=chV^
E"CT>`
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 9uK0#Lu~
gO)<7L|&
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hh:lI2V
zv~07]
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) mLW s?5LuL
q>n1:UV9;^
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 '-pLxXB
M"1C041x/
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) .)FVdP'6
?v\'!
[1] kZ6>1s
^Z
`^x`
两角和公式 np(*)Pz
Xi>nd$
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB LQ#3=+f
8C,K)]N
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB nJ~ApVB.
3XN:VN/
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %+~I|qC0.)
[5I1-fOV
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB rsC47V<
|Ts=NHk:
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ZhAjJC)6U$
V$~WJe0C
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) [!5W[(Y0FQ
^,
k|K#
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) r]t _Rn+>c
d}':;R/
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) d?[\ZM
Pw=96^]<
倍角公式 G2\6]Fq;a
Qj0d&
iA
Sin2A=2SinA•CosA ZCwhp_W
iq_+^-B
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 dk~ZS2~
{:tNwMQ
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) pOe~:BE
I E*xQa
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )
(&_N
vRUpd,F
三倍角公式 K&J3j{?
-j6aw(+O
T$VX;8s9
aY/#r3z*
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]W^^t4"D
5`L]9N3
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) .a@=qZd7
,O3rtXR~K]
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 4>J&JFWQ@
5r%U|<HS
三倍角公式推导 X(3x43Zs
Iy Ql+3#
sin3a G&:ne9NzJR
f5axvh)
=sin(2a+a) 8SCwH._V/
$u#n
=sin2acosa+cos2asina ;1D>r%Oa7
Eu}Eu2y\
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina z[*gDMty
2wt)I-)c
=3sina-4sin³a KqDH!CaN
)|J9M^
cos3a P\MPz4k$
VdLIbAu2
=cos(2a+a) s/r
xaS
WUbd_7u`u
=cos2acosa-sin2asina Y@lA+
ReHP6
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qEtzoqVT
3D(uOti[^
=4cos³a-3cosa Sa=3Hy#@
]rk/.D~(^
sin3a=3sina-4sin³a %Aw0__K
6!lTazN1
=4sina(3/4-sin²a) :8H8vxq
Xc%
=p:f
=4sina[(√3/2)²-sin²a] :ZCLf{
&v^lQLA)O0
=4sina(sin²60°-sin²a) k'a!qe-
}OK^>xs
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
4(.1I'y\
iDuc4E+;(
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R ] W;sB>
>$Ph
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ju
#/;XB
<.59_:_|
cos3a=4cos³a-3cosa @[ll^';>X
\8?|^TLg
=4cosa(cos²a-3/4) M:U;b+g
Hh^jR
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ]GmikQy<53
:~0D%-0<w
=4cosa(cos²a-cos²30°) @m(QX+
/OhR69Nc-
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) pB-%Z
Nsu0jO"
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} t/ZNg';'
%s_
<P4
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^K011h%
MNMp
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 5?D'Y*.
"
WPRer]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] }<I4a
.4Dj^%rs
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #{cH[BIY
a|!}/V^
上述两式相比可得 g9vz
r"q
~G ruoO
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) }'nLttiI!
`:W/Ntav
半角公式 T^Ytf8ZMh
(VA
%*d;*C
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [
szAKv>\
v5@PIeG4
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Cp|/"
ZtrH
a$
和差化积 E'd@wCNV
;-D_
GJR
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y6d8&qeJ`
@p8O2cWC8
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] BPM[%Ohu^
E=^ k
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6&yL8
h8fF=9Q
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "gf`N!t
Tw)/Q,(
ki
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mn, V*
49'2S$$
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $3L:])
O~R`b
cpu
积化和差 zFs
I,L
No`6,\{o
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] B)(\kLI
@P\n
N
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d
<b~Z x
.2&1&[L|'
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] CNh9>>9Fs
:[|f|H@ho
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
% /4$wp]
r B%',:
诱导公式 e9ON"kz~W
nL~Z"g'^
sin(-α) = -sinα s\yajOHD
Y>]fV
cos(-α) = cosα (xSbBEHc9
H7!Fd
][?
sin(π/2-α) = cosα ppe$;c!C
hLlA.Z[r4
cos(π/2-α) = sinα 2f0mHwNy
g3]zp0
'&
sin(π/2+α) = cosα *
r/|,xC+
f<`H>L%Qh
cos(π/2+α) = -sinα l"T0fQ@
H:xJe=P
sin(π-α) = sinα v[J*"+
)Ff/w+?@
cos(π-α) = -cosα 5d; B79
YL~l*V0
sin(π+α) = -sinα F S, |MK
H7bdY]f5<
cos(π+α) = -cosα ''5qFQa
N3sE9
tanA= sinA/cosA pO R!
j_
Wt0;@.Lb
tan(π/2+α)=-cotα 6'nt)jBJ
oM8og*QB
tan(π/2-α)=cotα x.rjq$T
0lC&k9z;m
tan(π-α)=-tanα reAtH'* v
"jqQ/@Bx
tan(π+α)=tanα {{(!7@!XN)
zg,8z1
万能公式 V0(hsp
rx,.=E)
9QMdR
fy bry"A8
其它公式 Y9h^.R<4M
ZKAG'$Mppy
(sinα)^2+(cosα)^2=1 >aSpgrY_
<Tt55D n&
1+(tanα)^2=(secα)^2 wrLIE;:};
2k`
Z.o
1+(cotα)^2=(cscα)^2 PG(7;o<A
D/8/q\S
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 hY,ppEgQC
*:*\HADuUS
对于任意非直角三角形,总有 Rkr&`M
2{]5Z|;
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y@v |T9Y
jN~@T;O6P
证: z:5S3=ld
f^+u~C?w
A+B=π-C 8!E_@@<v
Xp5Ov8_
tan(A+B)=tan(π-C) ?YJ d`W]
)2$uf[
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 8fOL+~r
qKwC`
整理可得 dr++yd`rJt
>eRvV
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _;LR\y[
8/X0CQT
得证 u;LXANkQ'
q Yf h
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \4cND5o^[
hYeP?!u=
其他非重点三角函数 * 5__}G,
3NpR'_=w
csc(a) = 1/sin(a) d 8@aBKe1=
/hkroV<n
sec(a) = 1/cos(a) hRHm<&O
+x%8(]]LT
_O
]b*\!
A}@@;,
双曲函数 qd4= z9RE
E@MWLs
Do
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Olmj0u`g0
QOgI-a5
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 2=e^Lky,
<{][V@
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _.o3_$(
$qnO>fuF
公式一: [nW1dkrOJ
i RcOjw
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: \(!kJ89
R ."9%t
sin(2kπ+α)= sinα kuFj)R
f upphw-r
cos(2kπ+α)= cosα 'BK')qjs
QQmN![9
tan(kπ+α)= tanα ;;^P vG
EpW>5c>N
cot(kπ+α)= cotα bO
7c"BK*
W yQA7Zv
公式二: VNOPU>dx
pD;x3L~
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: hu"wkd
agH!vf' {
sin(π+α)= -sinα Q3D(6*'iq
!uDI;?S
cos(π+α)= -cosα ]G sSd
4@R{:SWr
tan(π+α)= tanα n1PM(_Mb
i 94;V=
cot(π+α)= cotα eM[VuR
vBK"
g
公式三: Ntv]f8x%)
1\VE\C
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: wOS0jx$?#
|jP2u!+>
sin(-α)= -sinα '`-|@>Co
Q}.Vw9>
cos(-α)= cosα {tKzXaqvu
H,~4u#yQ
tan(-α)= -tanα l(
U[})a
2ja,XcKJD
cot(-α)= -cotα uKh6PHh_(K
?,YLv>O
公式四: wn!uhT
WI2?]`"3
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sU\/^@4:
xo ~!BOO
sin(π-α)= sinα %_cD{;fn!
Ff z"yC
cos(π-α)= -cosα |X9yzv
4(4j/%kr
tan(π-α)= -tanα n,<3mMic
b&<}V@:DK
cot(π-α)= -cotα 7T&
)VY]/
-}yc@]
公式五: t1
x# 4p_
SN5b4
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: RD~0QP
@7
FTMk:=
sin(2π-α)= -sinα |Cf@!Q{F
`Y__*\M
cos(2π-α)= cosα `8r4'$
"GZNPF=
tan(2π-α)= -tanα dDGav
BXrjP~g%e
cot(2π-α)= -cotα +o@7]Bb
*y ^(q-
公式六: ")Op6rj.
P?' K6c2
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: :%c0.81[
,E"nz :/(
sin(π/2+α)= cosα ?$Alx|Zx
6"Zl}mP
cos(π/2+α)= -sinα Pq uLlW9n
%tXw3kc
tan(π/2+α)= -cotα 4tK<#z}D
h2_qHQn
cot(π/2+α)= -tanα MQvQlB-)
?i/`[@;
sin(π/2-α)= cosα qc]tGu%V
E?lA*es
cos(π/2-α)= sinα f"}4&W]w/
0c.]? .C
tan(π/2-α)= cotα !d&6\`?
O5QMUwB
cot(π/2-α)= tanα IUCA;v
zc|6x69
sin(3π/2+α)= -cosα ||~{(7T
('"-K
cos(3π/2+α)= sinα oO.
j(-:
mLW*9"[80
tan(3π/2+α)= -cotα D9xqX%j
p]um;
cot(3π/2+α)= -tanα '(UtlJP
Q[+!_wh
sin(3π/2-α)= -cosα D6b&0HZ)
h(j!P}lYc
cos(3π/2-α)= -sinα OfJO/$]nz
lk7I-#(/k
tan(3π/2-α)= cotα 9/OR$83L#
,"]P_.]@Q
cot(3π/2-α)= tanα -C@t,|W
La<vV`D
aN
(以上k∈Z) _;SNMUmh
L
k8mPm
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 dbqp+,w
K&Hid-_i9
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~ KDCKF
{\}eq,-
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M}C8k9i!m
}T[JS;77
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
一共有 0 条评论