日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Z;MSkV<&m  
]%.W7YX!  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Hl5a^l  
w+grLXN  
　　1、三角函数本质： -{|iN8]  
}W~>T^@  
　　三角函数的本质来源于定义 p.F= \Uk  
}m>$ }FX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 +0Kw@|  
ju!oA-##  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 J56X ;g<  
df-1+Zr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： *a:TvG  
TwZ9a0Z  
　　推导： @a:A=chV^  
E"CT>`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9uK0#Lu~  
gO)<7L|&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hh:lI2V  
zv~07]  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) mLW s?5LuL  
q>n1:UV9;^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 '-pLxX B  
M"1C041x/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .)FVdP'6  
?v\'!   
　　[1] k Z6>1s  
^Z `^x`  
　　两角和公式 np(*)Pz  
Xi>nd$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB LQ#3=+f  
8C,K)]N  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  nJ~ApVB.  
3XN:VN/  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %+~I|qC0.)  
[5I1-fOV  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB rsC 47V<  
|Ts=NHk:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ZhAjJC)6U$  
V$~WJe0C  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) [!5W[(Y0FQ  
^, k|K #  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  r]t_Rn+>c  
d}':;R/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) d?[\ZM  
Pw=96^]<  
倍角公式 G2\6]Fq;a  
Qj0d& iA  
　　Sin2A=2SinA•CosA ZCwhp_W  
iq_+^-B  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 dk~ZS2~  
{:tNwMQ  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） pOe~:BE  
IE*xQa  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） (&_N  
vR Upd,F  
三倍角公式 K&J3j{?  
-j6aw(+O  
　　 T$VX;8s9  
aY/#r3z*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]W^^t4"D  
5`L]9N3  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) .a@=qZd7  
,O3rtXR~K]  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 4>J&JFWQ@  
5r%U|<HS  
三倍角公式推导 X(3x43Zs  
Iy Ql+3#   
　　sin3a G&:ne9NzJR  
f5axvh)  
　　=sin(2a+a) 8SCwH._V/  
$u#n  
　　=sin2acosa+cos2asina ;1D>r%Oa7  
Eu}Eu2y\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina z[*gDMty  
2wt)I-)c  
　　=3sina-4sin³a KqDH!CaN  
 )|J9M^  
　　cos3a P\MPz4k$  
V dLIbAu2  
　　=cos(2a+a) s/r xaS  
WUbd_7u`u  
　　=cos2acosa-sin2asina Y@lA+   
ReH P6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qEtzoqVT  
3D(uOti[^  
　　=4cos³a-3cosa Sa=3Hy#@  
]rk/.D~(^  
　　sin3a=3sina-4sin³a %Aw0__K  
6!lT azN1  
　　=4sina(3/4-sin²a)  :8H8vxq  
Xc% =p:f  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] :ZCLf{  
&v^lQLA)O0  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) k'a!qe-  
}OK^ >xs  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 4(.1I'y\  
iDuc4E+;(  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R ] W;sB>  
>$Ph  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ju #/;XB  
<.5 9_:_|  
　　cos3a=4cos³a-3cosa @[ll^';>X  
\8?|^TLg  
　　=4cosa(cos²a-3/4) M:U;b +g  
Hh^jR   
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ]GmikQy<53  
:~0D%-0<w  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @m(QX+  
/OhR69Nc-  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) pB-%Z  
Nsu0jO"  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} t/ZNg';'  
%s_ <P 4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^K011h%  
MNMp   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 5?D'Y*.  
" WPRer]  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] }<I4a  
.4Dj^%rs  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #{cH[BIY  
a|!}/V^   
　　上述两式相比可得 g9vz r"q  
~GruoO  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) }'nLttiI!  
`:W/Ntav  
半角公式 T^Ytf8ZMh  
(VA %*d;*C  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [ szAKv>\  
v5@PIeG4  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Cp|/"  
ZtrH a$  
和差化积 E'd@wCNV  
;-D_ GJR  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y6d8&qeJ`  
@p8O2cWC8  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] BPM[%Ohu^  
E=^ k  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6&yL8   
h8fF=9Q  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "gf`N!t  
Tw)/Q,( ki  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mn, V*  
49'2S$$  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $3L:])  
O~R`b cpu  
积化和差 zFs I,L  
No`6,\{o  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] B)(\kLI  
@P\n N  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d <b~Z x  
.2&1&[L|'  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] CNh9>>9Fs  
:[|f|H@ho  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] % /4$wp]  
r B%',:  
诱导公式 e9ON"kz~W  
nL~Z"g'^  
　　sin(-α) = -sinα s\yajOHD  
Y>]fV  
　　cos(-α) = cosα (xSbBEHc9  
H7!Fd ][?  
　　sin(π/2-α) = cosα ppe$;c!C  
hLlA.Z[r4  
　　cos(π/2-α) = sinα 2f0mHwNy  
g3]zp0 '&  
　　sin(π/2+α) = cosα * r/|,xC+  
f<`H>L%Qh  
　　cos(π/2+α) = -sinα l"T0fQ@  
H:xJe=P   
　　sin(π-α) = sinα v[J*"+  
)Ff/w+?@  
　　cos(π-α) = -cosα 5d;B79  
YL~l*V0  
　　sin(π+α) = -sinα F S, |MK  
H7bdY]f5<  
　　cos(π+α) = -cosα ''5 qFQa  
 N3sE9  
　　tanA= sinA/cosA pO R! j_  
Wt0;@.Lb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 6'nt)jBJ  
oM8 og*QB  
　　tan（π/2－α）＝cotα x.rjq$T  
0lC&k 9z;m  
　　tan（π－α）＝－tanα reAtH'* v  
"jqQ/@Bx  
　　tan（π＋α）＝tanα {{(!7@!XN)  
zg,8z1  
万能公式 V0(hsp  
rx,.=E)  
　　 9QMdR  
fy bry"A8  
其它公式 Y9h^.R<4M  
ZKAG'$Mppy  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 >aSpgrY_  
<Tt55D n&  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 wrLIE;:};  
2k` Z.o  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 PG(7;o<A  
D/8/q\S  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 hY,ppEgQC  
*:*\HADuUS  
　　对于任意非直角三角形,总有 Rkr&`M  
2{]5Z|;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y@v |T9Y  
jN~@T;O6P  
　　证: z:5S3=ld  
f^ +u~C?w  
　　A+B=π-C 8!E_@@<v  
Xp5Ov8_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ?YJ d`W]  
)2$uf[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 8fOL+~r  
qKwC`  
　　整理可得 dr++yd`rJt  
>eRvV  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _;LR\y[  
8/X0CQT  
　　得证 u;LXANkQ'  
q Yf h  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \4cND5o^[  
hYe P?!u=  
其他非重点三角函数 * 5__}G,  
3NpR'_=w  
　　csc(a) = 1/sin(a) d 8@aBKe1=  
/hkroV<n  
　　sec(a) = 1/cos(a) hRHm<&O  
+x% 8(]]LT  
　　 _O ]b*\!  
A}@@;,  
双曲函数 qd4= z9RE  
E@MWLs Do  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Olmj0u`g0  
QOgI-a5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 2=e^Lky,  
<{][V@  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _. o3_$(  
$qnO>fuF  
　　公式一： [nW1dkrOJ  
iRcOjw  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： \(!kJ89  
R ."9%t  
　　sin（2kπ＋α）= sinα kuFj)R  
fupphw-r  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 'BK')qjs  
QQmN![9  
　　tan（kπ＋α）= tanα ;;^P vG  
EpW>5c>N  
　　cot（kπ＋α）= cotα bO 7c"BK*  
W yQA7Zv  
　　公式二： VNOPU>d x  
pD;x3L~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： hu"wkd  
agH!vf' {  
　　sin（π＋α）= -sinα Q3D(6*'iq  
!uDI;?S  
　　cos（π＋α）= -cosα ]G sSd  
4@R{:SWr  
　　tan（π＋α）= tanα n1PM(_Mb  
i94;V=  
　　cot（π＋α）= cotα eM[VuR  
vBK" g  
　　公式三： Ntv]f8x%)  
1\VE\C  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： wOS0jx$?#  
|jP2u!+>  
　　sin（-α）= -sinα '`-|@>Co  
Q}.Vw9>  
　　cos（-α）= cosα {tKzXaqvu  
H,~4u#yQ  
　　tan（-α）= -tanα l( U[})a  
2ja,XcKJD  
　　cot（-α）= -cotα uKh6PHh_(K  
?,YLv>O  
　　公式四： wn!uhT  
WI2?]`"3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sU\/^@4:  
xo ~!BOO  
　　sin（π-α）= sinα %_cD{;fn!  
Ff z"yC  
　　cos（π-α）= -cosα |X9yzv  
4(4j /%kr  
　　tan（π-α）= -tanα n,<3mMic  
b&<}V@:DK  
　　cot（π-α）= -cotα 7T& )VY]/  
-}yc@]  
　　公式五： t1 x# 4p_  
SN5b4  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： RD~0QP @7  
FTMk:=  
　　sin（2π-α）= -sinα |Cf@!Q{F  
`Y__*\ M  
　　cos（2π-α）= cosα ` 8r4'$  
"GZNPF=  
　　tan（2π-α）= -tanα dDGav   
BXrj P~g%e  
　　cot（2π-α）= -cotα +o@7]Bb  
*y ^ (q-  
　　公式六： ")Op6rj.  
P?' K6c2  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :%c0.81[  
,E"nz:/(  
　　sin（π/2+α）= cosα ?$Alx|Zx  
6"Zl}mP  
　　cos（π/2+α）= -sinα Pq uLlW9n  
%tXw3kc  
　　tan（π/2+α）= -cotα 4tK<#z}D  
h2_qHQn  
　　cot（π/2+α）= -tanα MQvQlB-)  
?i/`[@;  
　　sin（π/2-α）= cosα qc]tGu%V  
E?lA*es  
　　cos（π/2-α）= sinα f"}4&W]w/  
0c.]? .C  
　　tan（π/2-α）= cotα !d&6\`?  
O5QMUwB  
　　cot（π/2-α）= tanα IUCA;v  
zc|6x69  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ||~{( 7T  
('"-K  
　　cos（3π/2+α）= sinα oO. j(-:  
mLW*9"[80  
　　tan（3π/2+α）= -cotα D9xqX%j  
p]um;  
　　cot（3π/2+α）= -tanα '(UtlJP  
Q[+!_wh  
　　sin（3π/2-α）= -cosα D6b&0HZ)  
h(j!P}lYc  
　　cos（3π/2-α）= -sinα OfJO/$]nz  
lk7I-#(/k  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9/OR$83L#  
,"]P_.]@Q  
　　cot（3π/2-α）= tanα -C@t,|W  
La<vV`D aN  
　　(以上k∈Z) _;SNMUmh  
L k8mP m  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 db qp+, w  
K&Hid-_i9  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~ KDCKF  
{\}e q,-  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M}C8k9i!m  
}T[JS;77  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15819) |  收藏