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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 8Y;#9 c.aH  
/7h4c~k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F[%Uym Z  
#\@u6~Q)  
　　1、三角函数本质： #nK9IUO5HI  
N|n)!OTd]&  
　　三角函数的本质来源于定义 #: kO68E  
m`GVlCx  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PuhF43XK  
h ux)<  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 otjR=  
;[r#UK=|W~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： M&[H]LBN  
:wpYV|m   
　　推导： &xR89m  
4^szY]6;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 6UJ@e~6m-o  
l[?DVZk/n  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \i" qIEF  
xD|uy~;  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y F  {l  
X W!d[[  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ozOg.{:d"k  
<Z:+3 C"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） F3j$ U:=c  
jeW1PX'",|  
　　[1]  -ZnBZGq  
4P$eqkHd  
　　两角和公式 +s)9 lkD  
_l!#-)o;`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |Wa(cn%\  
PnN;KsW5-  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .oeCC& 5s  
+ Hr7B{<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yVW$fA N  
G=lv'= :,  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB P}'hCH;g  
m@6sZa%w0  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) naG p;.  
OtjG  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) xVkeo#  
iX]tR-h  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  \?D%%6yMh  
~s7dui e  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 59D g1"0  
7x<:f  
倍角公式 qs. 6@UO  
KV_6 Jt_  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;BtR #a  
41#sED~j>  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 In"Ar vE  
oa05*Ux9  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Fhi$h=FX/  
@K.E!OSqR;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） = 5w1$ ^  
,!:`?jH;  
三倍角公式 e\5p6Z$  
uoT5q}~  
　　 ad##s [{L  
iA9z%{N  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l' 1Ie[  
i<%L2Hi4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) /<C78H  
}X"Xh m  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) $zuL3i  
9MzZ'zP  
三倍角公式推导 g"XTMx  
*'a?fzsSS  
　　sin3a >5%(|%t`  
MZZ^4OW?t  
　　=sin(2a+a) F2#e+4,  
WVd gtKLe  
　　=sin2acosa+cos2asina ehP6P[~  
1tRs,  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina sg2PIG  
 L{=i5:  
　　=3sina-4sin³a VSKX9h;<Zp  
9zjw,Rc6a  
　　cos3a @}bq`T^_^  
r$>i&Gi  
　　=cos(2a+a) J }, Ve  
 ($+1#/  
　　=cos2acosa-sin2asina 1vJ^jrE  
xFe+]M;.  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa w GwH!CJ  
lIT 6O@:  
　　=4cos³a-3cosa %psuV!W  
|QFzB~Y  
　　sin3a=3sina-4sin³a i E9l28   
3<JM BH?  
　　=4sina(3/4-sin²a) X:;$y~  
{O?U3_  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] H/>sHY O  
<4U|f'#9  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 9+O5X /  
&r2[zo  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kz0FN Xf  
b-JmJZ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] VL^%c3W  
+1pA|  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %<k"mNI  
,y9[cj61!  
　　cos3a=4cos³a-3cosa *4m g&  
\3lh)3&o{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |35V l  
WL,i}J)4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _%9%-\U:m7  
-W}?N3k-`;  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ?3IF+rgXp  
+E0Jn:>  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) M#rz CI  
i>i`Tu8Kg  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} tE`Qj1bsQ*  
]"6?L}h  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 7Wop6(A%  
63 {NW.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &I!*>!gp;  
mAI2UY6#{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |P ?h  
6e^=D)%G  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) } dMfqd"  
/$W'M.m-  
　　上述两式相比可得 U,usAoF\0  
[(%6+E  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z_EUH h  
h]/" {)  
半角公式 Q z^{6\V  
hRk0xz;6U  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); "| 8zoyg|$  
W_f9n`\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. H]*bMZ  
h[R9 R]  
和差化积 Yul=\C[R  
l/52t  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #h\Cx/R+t  
b!AD|!B_'!  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B3X  
U`"1-]O  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '}.q+z0;Pe  
8Z\<0_ >^  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Y(2P8~>Z  
4N] D(n4}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) p`x`<eq<  
mP_!'<m  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) nxKd{Lti.}  
*__De; :  
积化和差 l&JA7?N  
>(.k'#=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] p}sI{l%KK  
/{=l2 r  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] b=Nv=z  
8#;nI7q  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {'a 6$XH%  
4 #"S /  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] mpCr  
%6)@[#j#  
诱导公式 &m+j:#V3K  
t=-eh js`  
　　sin(-α) = -sinα T %Tn /  
:8k9@Z'c  
　　cos(-α) = cosα 2gvub"S'  
Nt {_Nfe  
　　sin(π/2-α) = cosα T.O}DjLo2  
lV/e$}FB5  
　　cos(π/2-α) = sinα u#oAs  
gq sNV0  
　　sin(π/2+α) = cosα cf=@UITa9  
g1OK\jsVn  
　　cos(π/2+α) = -sinα 8+4LXSD  
{ Z'#.-.s  
　　sin(π-α) = sinα "|}B"bzNm  
{"nrIU  
　　cos(π-α) = -cosα n;GoAF  
lMAX_zA}\  
　　sin(π+α) = -sinα -&OFK Gu  
j7uPF(S  
　　cos(π+α) = -cosα !u9 tupK  
4(EU\7Ys  
　　tanA= sinA/cosA @w8%^tj  
,My6C  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα V9ww>nNw  
b}T/(j> "  
　　tan（π/2－α）＝cotα gM,w2tdK'  
O=8Q(c< G8  
　　tan（π－α）＝－tanα mhKy6]l  
a4/N") X  
　　tan（π＋α）＝tanα # 1AJ7  
j5y K  
万能公式 Kc&dJ\  
,7{'Ee8,D  
　　 9'%toRLAj  
31mDw2N  
其它公式 qlI?!2  
dT|go%Q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 k RFE<*U  
b@ d,%f'i  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `G 7a6$  
>\&x'LPsU  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 T2:$H w@Z  
TM29AG&)~  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 yO)2euul  
f\"S#Jr  
　　对于任意非直角三角形,总有 F&S{G3P |  
9Q~0.;(!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <V46H3\ku  
O Q+B?,Dw  
　　证: Q4pHV3%  
t*~Hqb,G  
　　A+B=π-C A&CVobLYC  
^RAeu  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Xg.q#;r  
4s[.;K/|%  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) TyO Vd'|  
x0% (3  
　　整理可得 1v=^z`  
7k M[6K/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Z}|.Lv  
D;(hQz[K  
　　得证 tNcra~ lTm  
SBf^~7}o  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1MTt'J @K  
||P4K2KT  
其他非重点三角函数 KYt^Vv@N  
k/E/~]*YZ  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^CvdEBm  
!@F]p|cs  
　　sec(a) = 1/cos(a) > n~C(d  
dO$5 X9  
　　 Cwgm]w$cs  
g-,.n  
双曲函数 TG7c<ZFO;x  
ek[HY N  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 <% "q9n-v  
sB9 22|  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0bihMoz^'  
e>l:X s<|  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) *B!#\r!  
m'i&P}  
　　公式一： 6S*d|2X5  
Oa41@)j  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： N0^?|K.  
&yy?PK b'  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $|R n{lNz  
d^-Z_RMU  
　　cos（2kπ＋α）= cosα #L(v]Bu-  
F!(\yB-x  
　　tan（kπ＋α）= tanα )Qy.$) r  
rfnE)O#  
　　cot（kπ＋α）= cotα k$~'_0;  
XeRlM  
　　公式二： ["n,O~]  
T6R>zQ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Y0pXtX(P  
=b5!sG~iwy  
　　sin（π＋α）= -sinα RxwFx?qu8  
J/;(!B7Nd  
　　cos（π＋α）= -cosα 6pt3`!  
ooTWtB$%  
　　tan（π＋α）= tanα <C7:JE_C+  
!^uhec)W  
　　cot（π＋α）= cotα ^5W5 pA  
 WVA  
　　公式三： f=+c]1Q  
gt ^&ZHm  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?ip$"yS$  
nO P{Td  
　　sin（-α）= -sinα eD &C3kg  
x:=o"}S81  
　　cos（-α）= cosα yb3" w;/  
- )!w~),  
　　tan（-α）= -tanα \o[.=D3:  
8 Z<c'?,1  
　　cot（-α）= -cotα mYw0@X~FU  
xRc:L#V\  
　　公式四： VYV$ /H  
"3 `>+Ii  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： N}F'I%a=w  
T~sQf8qH  
　　sin（π-α）= sinα ~Ib+yBK<=  
T!&{dgnK<U  
　　cos（π-α）= -cosα Fm A_r;<  
0rhd BZ  
　　tan（π-α）= -tanα ZDho  
-/[Jhj%?<  
　　cot（π-α）= -cotα $~w0g.s  
#1z)z(kiO  
　　公式五： l.^&ySQ  
L1 PXk: f  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ;F:\zlc#  
!G}?5shY  
　　sin（2π-α）= -sinα 8&I_XvMw  
>xj!i"y  
　　cos（2π-α）= cosα kRI5W /.  
){S49XbMS  
　　tan（2π-α）= -tanα }EGDNOd  
5Cn|VBa  
　　cot（2π-α）= -cotα r%l $e`  
n)AAy><.=  
　　公式六： _y|]f9*M>  
9;b z  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *?mq{qS7"  
0Z A68Y  
　　sin（π/2+α）= cosα e!JO(  
|~0L, /@Ia  
　　cos（π/2+α）= -sinα #,"+.b.k  
F@++rMnW  
　　tan（π/2+α）= -cotα ">ld,K}2~  
:$ 2u\ {f  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,`bcDAG_  
; !j8)7Nd  
　　sin（π/2-α）= cosα wj_l^Y2=  
0s.ZF9fr  
　　cos（π/2-α）= sinα 1>?@q!K  
Fa6"sZ~Q  
　　tan（π/2-α）= cotα ?qwiXGme  
)(1yRv)O  
　　cot（π/2-α）= tanα oh%Cv?7i  
k:+X|V]y9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα tG9F<  
9Q9yfc3  
　　cos（3π/2+α）= sinα Y{;W1  
 A~KvQ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα u~GRO5$h  
%vNVX5WP4S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα sJ]Cx1Q  
[dNzzCnpS  
　　sin（3π/2-α）= -cosα l Bzi}L[  
gid;p#xt  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ;zhvX*(:<:  
v"yWYC!  
　　tan（3π/2-α）= cotα xJ'Gw`:G  
9^DK7  
　　cot（3π/2-α）= tanα 9/,mrcZ6Vl  
ckgt@d2&d  
　　(以上k∈Z) 3vaM&|c  
{p<.mhk[J:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 M-&rh$Dd !  
rsC6|.r53  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = VbC"^40d  
`h~=d  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } bZpJ&\'v  
{T+1<h^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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