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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 s{+15ic%6U  
K'iaJ -">  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. K0^XtI  
m:A)J>!  
　　1、三角函数本质： GAYi `  
] {a ]"6[  
　　三角函数的本质来源于定义 k+0jQ4k  
{*<=ixWJ"  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  q8g%j  
.NvW%$)  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 d=i&t|i[q  
O`dJPRYx}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： b,NBEUF:1  
*NE%w9:  
　　推导： d\>"3'0I  
K2b^w {!3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 R0vk{VRlq  
o.:T(&ukV  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Z !9e ,/  
3;|{os  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I^ZJku01)  
#vPZ)+m  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *6u-CNv.&  
[xks%Y-QL  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） UZg&6b[-  
bQ`g^~ &  
　　[1] (N f{;44  
;I b!B=Qt6  
　　两角和公式 mOMvQj)|  
OxDi7F] N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB C\w=[pE  
'bYz/W '  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  S, !9& WI  
 `>O14  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (k0nN"  
XhsZMh0  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB X "{)X avE  
nQTJ 5\Bx$  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) a(y`',`.U  
CBU>F}  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) | I$ Yux<  
J}=b!qf  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  hT|Ef>ym  
k$~{Yy  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {1DEv`rV  
w{HC5%BXw  
倍角公式 hA( !hn57  
@o5)Bmj  
　　Sin2A=2SinA•CosA  '6,h}}  
7@#hWJ3$  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !=DP:Qf  
B_nq &8  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） SNz>PV'w*  
F?:Et gJt*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） d%T `DH2  
_a+00d  
三倍角公式 K-RVn"H  
`;hQoj*  
　　 41lrw\  
nfU DtU  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `~5wx /R  
9XUYi&Vkw3  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) )zJOzDbM.  
hpX%{m+`#  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8!#/Xq;Z  
2?;ahbk  
三倍角公式推导 {*CP_z=w  
U/}<{bjo'  
　　sin3a #<+'RER&  
i"X('EU  
　　=sin(2a+a) vzT;?V  
p0@vvhBi^:  
　　=sin2acosa+cos2asina cbBpE>c  
xUxgZ9=  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6JJ dWSa[  
s}K'<7cI  
　　=3sina-4sin³a -n3N,b  
PF4eQ =]  
　　cos3a f_r]^1W1$d  
!rB'&23?  
　　=cos(2a+a) xg\h>TXb  
R;-4bM:  
　　=cos2acosa-sin2asina d7q;$KX|h  
]*k; g  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p~ZTbNbV  
[d|+/juO  
　　=4cos³a-3cosa rx\ ^V#!?  
 A/Q"nP?  
　　sin3a=3sina-4sin³a M .w/c&  
wJ#i]:9  
　　=4sina(3/4-sin²a) KO,0Vt  
I4Yu3#p  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] eDAM  
kt"#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) X *WRq  
wYI@dl^v  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) y <4zX\  
Y& mP^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] *=Oc:> _  
z3GcP[Ih  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Nxz<?>F  
+q*B)+aP  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Mm^'nizWw  
{-W6/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 2q@gjw  
&\%jIm7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] >mUY2*|  
wqpw  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) tG=qHTa  
?k k>K7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) "2Y3,`  
#I,.qi4"  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ';z{q&k:T  
^G|6-^+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +E<HsC`Y  
^3dN0}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &z &T("  
=Q{O!%  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] wms\jA;/  
8--@]W -  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) nSXF3of ,  
Y\|tk<C!  
　　上述两式相比可得 d}Cu!H0  
rQvKh[[=8&  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -7a.|7;  
'Tp~Cg.7Y  
半角公式 'g[uN(U  
I4(1I[T  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); |`y8 Kaid  
4?_qF-T  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ttv+dx8f  
9[<t4#  
和差化积 ZdqF|JL'  
#h<S6s1  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] H\hKuCw:El  
NS<lZ@B&\5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q F1%  
k|P"teF  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xQo"#y!t=  
Z tB>o0  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yoP!wuJ~  
_IVHHL}n  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) H-Kc=[ V  
a_*<MCTv_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &H;m *^5  
Kp ?zMsN  
积化和差 TzZ l{AQ  
]uz{P&y%  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] mgcG1 I  
q&cyIF6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] /,\6D`tu  
D40/ jnO  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] )%hj@PS^"  
wvp_HS  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] {m'#7!f8  
] 4z5#-  
诱导公式 S@N,2vUT_  
i[ LC DI  
　　sin(-α) = -sinα ' *-3C%_p  
;*tM7.vBwA  
　　cos(-α) = cosα 8mI[8b`X-K  
NPo@9P3 W  
　　sin(π/2-α) = cosα yKc1EH)r~^  
e">3_/gny  
　　cos(π/2-α) = sinα &}8FxE5  
t Y%X- 9F  
　　sin(π/2+α) = cosα Mg2<H7j  
~FE<+4N  
　　cos(π/2+α) = -sinα e r0';  
Ee?f0 az!%  
　　sin(π-α) = sinα |a/~o?XwQ4  
c7\OOT}6  
　　cos(π-α) = -cosα rJ,pTPpCh  
"0udZh9  
　　sin(π+α) = -sinα V(`*B$  
= :k3J7e  
　　cos(π+α) = -cosα /$6= Y5d]%  
X~+)!25 -  
　　tanA= sinA/cosA hQO_09  
^'y#"!np6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *\QssT@Z}  
mxN( .8a  
　　tan（π/2－α）＝cotα LGXP$1&$  
9.g1h  
　　tan（π－α）＝－tanα ty .oS#k&  
.PA8  
　　tan（π＋α）＝tanα %zI0-mo[5  
nk?cuNS_ow  
万能公式 =U <[7lZ  
%&P#dY  
　　 y\]Fq}/ A  
mp*4-X k  
其它公式 g7zWW R  
v xxI~iFgk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 na#[ c5:mC  
Ixmt+3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7 ^0<@1`  
S)5} >  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  emSHbL<  
nVHV&!P#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 vTwn2IV  
$L/ep#di  
　　对于任意非直角三角形,总有 ]JN@}7H  
UHt.8>y0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $ je(o."Z  
!b:c'zUI=  
　　证: F_]EzL2t  
DIoJ&; t m  
　　A+B=π-C ,* [mg  
+Gm{#[rh"W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Ldu,;8  
b'TtD;/R  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) S09 kpC<q@  
g]ud#H-g  
　　整理可得 _;XJ k;Cul  
H?Eh)kFe  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tIx. 3p%  
trkA.]R(  
　　得证 Sy/Y90g>)  
r7+ HO  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h@4?>H  
a9SSw~h~  
其他非重点三角函数 ?qiu;OF1  
h+jb+P 9gD  
　　csc(a) = 1/sin(a) *d.Vi(N  
GS/Mc  
　　sec(a) = 1/cos(a) a Z)q7  
lR+";u<  
　　 ,eig|  
xY>2t{  
双曲函数 :$s/hi^<  
`IR_i8[  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 vhPnoBsx  
H)%R"@  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 /3RlR  
9L RGb}8  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) - Dq>Ln  
i*-Dl%mwu*  
　　公式一： V@{N"c\dk  
r!fUH0n+&  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： WKND8S9k  
y!&*Pge:3  
　　sin（2kπ＋α）= sinα J s dP  
swo_hmn#  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Y5]Qg1( _  
9|.s'|2  
　　tan（kπ＋α）= tanα .hIY*BU  
ao3j*ty  
　　cot（kπ＋α）= cotα [GJg=y!'A  
jN8>Yf  
　　公式二： BpPJ/Ng  
w"CO)?O  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： _C\|{z0_`  
v?\+ b1|  
　　sin（π＋α）= -sinα '1Ch@_-u  
"d!vu]&-  
　　cos（π＋α）= -cosα S*6V< -,dw  
z_!]{XMC&  
　　tan（π＋α）= tanα (d3i'W  
vD"m\36|  
　　cot（π＋α）= cotα \~i4km  
c8 kix  
　　公式三： id< io  
9#, +Uzr  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： p&K3c_  
>V5c%7@4Be  
　　sin（-α）= -sinα `~ n\  
dvYwBF7  
　　cos（-α）= cosα %.y'C  
!,.VcD@cv  
　　tan（-α）= -tanα { #L6w4jx  
* &dC{,o`  
　　cot（-α）= -cotα :T yC(%q  
b  ng  
　　公式四： +y_blR"  
a"RwBT=Z  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \<KZ7+|H  
<!XdbLl]  
　　sin（π-α）= sinα 7M58 Epz  
~h?Gb4dav  
　　cos（π-α）= -cosα FGXgv7K0  
!u#7/54%T|  
　　tan（π-α）= -tanα V+ HYYnI  
"Dw93.  
　　cot（π-α）= -cotα B$C$D  
g,zOS/[8  
　　公式五： =S&Yk 9  
:%ARD+h%O^  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： O\ AdT |/R  
'dmqHv  
　　sin（2π-α）= -sinα bETH@0V  
+ ICD  
　　cos（2π-α）= cosα }~#00\_Qv  
v7 )_+W`9:  
　　tan（2π-α）= -tanα F)[QF&F  
}OQ<)2T5  
　　cot（2π-α）= -cotα DU*UMjQ  
Mx3&[  
　　公式六： S{/N7r  
ccX;WR)  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u:+" D<I  
jr+1_q*MK  
　　sin（π/2+α）= cosα YkC >d~  
}| "27v  
　　cos（π/2+α）= -sinα Kz8"[  
n u[}3.u  
　　tan（π/2+α）= -cotα ?tE':<J  
dN%Z) Oi  
　　cot（π/2+α）= -tanα E-=i=ts9.  
QXNF:"Ibw  
　　sin（π/2-α）= cosα ~+&$ F+Ts4  
* f.6  
　　cos（π/2-α）= sinα D%'] [zC  
(6ALyp  
　　tan（π/2-α）= cotα E35Yh#t?  
%!:BPZ@7*7  
　　cot（π/2-α）= tanα D}?! :9  
U8VUfw!'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Hm0^)TB  
rD#_ _#\  
　　cos（3π/2+α）= sinα = KA :~3qI  
Khq>Tz!"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MK_E]wK  
n.O :[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα F$_ro7CGN  
Jh7)b"v"  
　　sin（3π/2-α）= -cosα yC#hIkf5Z  
~a6}Db~sw  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Z5Ye3lvA0  
q*#jBY{F  
　　tan（3π/2-α）= cotα H,\|u  
0n Y,40|  
　　cot（3π/2-α）= tanα ZASgxee  
AWhQcG))  
　　(以上k∈Z) VC!*G Q  
}`#h1_7A  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P"Dmi-%RU  
I,7_/H N  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = |NrCXjs^  
3<i ~ ={   
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1pz~ W  
8$8hXFc<xr  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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