三角函数内容规律 gC,{-=Cb
rIgHldPJ
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |emx|k>j
= 7lhJ7
1、三角函数本质: |?&(3O \
xG'%1f3 F
三角函数的本质来源于定义 T!Fhs 9E*
V@qK(sA
\
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。
)rz8aS4-
3
-/;
h
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 *!^Axo!-U
=J&W/fn3
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: y#y^T<v
";WPtR=BR9
推导: j)]~/[ d
c]F5zP/Z2
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ZYjFgpTrh
,GOZ*
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) L_4w3OE
{Ra8ChaGE
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @yd
[l,
^d4jiph"
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 y)Td'k-vP
v;8VG^Tl
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) r 2J(
]r%t>NjfA
[1] l$D=!r1CR
{cmEs1=nC
两角和公式 K?"-ii}v
lxR9j#F
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cPTC`v(
M@Wg
/34
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ol.'s#y8
b38XW|>
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB [X&n..lg
&[[["19M
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB U)n>t]h
>|2tGp
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =P*hS<1
rx'k[9mZ)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )@=MUN@9#
L=0L]tIig;
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
N*hA y#(
v{X*:4sDT
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Q3Y}conb_
`i9z3<
倍角公式 -^M&L0 x
*N*_o
[
Sin2A=2SinA•CosA \J BZbqR
Hs;_BWv<Z{
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 [mbtCcKU=
:maM>KM1
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) HC~},wU9
A^OUIGfw,_
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 4&ru's9a
]jz&0~g
三倍角公式 _Ws
mA
4ZT|{gP
.Rjgtz#~
RwyL)iN
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ZyK1a3N
RmvPelDZ;l
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,ot$#_2tQ
ns)`iS
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) SkELibJ
.x<u}m
三倍角公式推导 `{ H<cM&i
-8W;%Gf<=
sin3a &~oW#Zi
X -2G[ yI4
=sin(2a+a) PK>99D^,
Y}!HmoNW
=sin2acosa+cos2asina MZy_XeT
2%y)jO&n
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *oH2 [fEi
*0TYV69
=3sina-4sin³a $\
LZn<=
t"k0OX%G\
cos3a g"|4gZ#
BJd&EvE09
=cos(2a+a) ,OTNE6G
dH3#"_
=cos2acosa-sin2asina ,sX rnGH8
1<;7Lj'b
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ,85UH%xL
ECl'0MvI\
=4cos³a-3cosa g`pQoC
~ e (]m,
sin3a=3sina-4sin³a ;.w3o[3G
#K56&_H]
=4sina(3/4-sin²a)
44y]}WlN
Qrjf8Q6 _
=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~L_>.
(3;%fHhJP
=4sina(sin²60°-sin²a) #7hMqd4h
3PS{&;q
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 5boPiJ:Q/
*R>urF1{o
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &w?lc
cnDTXwk
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;;H?;+x
*FVvMr<6
cos3a=4cos³a-3cosa _)=|79%u>
&H(_ PR5
=4cosa(cos²a-3/4) ;;z)^
;?Y?$:<)?
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] N|xS$nT0
YYp\@~F
=4cosa(cos²a-cos²30°) d:GhI%S
JC3uc&pV
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) tSG
_FD
.X\p\4Z=
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 8"O=[[Aw
,_h0dm
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]W,xTg;
I9IDZzS2dD
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] |E`~
hvqm
/|`V8"Hu
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] !)84X['
@-l~'K;
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @/Z|MA~{
oan&4Yg
上述两式相比可得 v$
T
e9.e7Tw
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) D\ $Dv
9p&K9
半角公式 K
;_jfAhi
/p-j: f
w
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $</=iZ.x
+
%0^Qtn
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. MA')jN/d7
Ln:+IR8
和差化积 >}J"(06{
<AnE1H6h
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] kiJ^$f
[= Na
L
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Pcf
m07vB
{K0vwF\&Y
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?mbvR(|=?
>Lt@@"7X&t
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M?faov
uV*5sJ+9%
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) GFtcpfv]@
@]Aq
Nx\
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Cea~]S,
r]stxx>
积化和差 Xu-BL!
G ;SB}E
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] S@luH#J8
hK, LxB
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 24Zk_
vr
|Tb[f=D77
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] p9>&q%N
9I[B!&
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ;$yS[7E?
wW>#q@H0
诱导公式 7t=c]tZ
.);v6VD$S
sin(-α) = -sinα
1MQWC*
eN'Qc.~
cos(-α) = cosα 0wU)#8E
c>((>At
sin(π/2-α) = cosα Ma)KQE!~ki
[-05
.rt
cos(π/2-α) = sinα 2B\+nJ f
6
7kPM
sin(π/2+α) = cosα F+^_E:
Da=PcQ5
cos(π/2+α) = -sinα _<C/qX
oy-i%Zm
g
sin(π-α) = sinα c F1.L
W5CGoC"-f
cos(π-α) = -cosα W1\\@xS5
yqEedGH
sin(π+α) = -sinα Nn6L5Wt
@N[lH<T
cos(π+α) = -cosα
BUYh,g@a
r)T8QTIa
tanA= sinA/cosA }`2d
D76
>7J"OHw
tan(π/2+α)=-cotα nHD^O;Y
?Tx##(6
tan(π/2-α)=cotα PGzOr6{
Y6O|VTuj
tan(π-α)=-tanα n 8YM/v
t\4tG8zj
tan(π+α)=tanα UB]f{t
:Wx-wH*T|
万能公式 6UtX_?004<
'A nmk]2
CR&SU#\N{
lnCe[Xle2
其它公式 ;V$V
!Fsx{Y&
(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~,`AnsF
R8)9xf61
1+(tanα)^2=(secα)^2 g=bW"*byU
:SWAp
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ihhP*/
n.S
)+J
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ^Gk`T> ?
1:2zzyo7gV
对于任意非直角三角形,总有
HFfV\
6O?Ej?`?
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >M,Zbne
5"~kJ .5Z
证: M >(S?o
[9'S;v
A+B=π-C 6n rzYS1
"08{lK
tan(A+B)=tan(π-C) ;#tS\:oW
Q(=@{#rle
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) p48]O3 _jr
R`]Vw
;
整理可得 c&w%pfJ/
TyXR"nmbC
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 64UMo9sqw
KrHqJaZ?d
得证 G5c^8
S,({
^
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w\bP@O>
K_$ ?W\
其他非重点三角函数 ]Z%@q
ByYpvto
csc(a) = 1/sin(a) *%3[(ye~r
0^%ky@
sec(a) = 1/cos(a) g 74w.kP{$
ljf2VSpr
f
>w{~!Z
@
d'QelF
双曲函数 1
T%yQ}b
'Git>n
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?s'iK *(E
a}("
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 GblQ"}2C
c#pb{~6B6
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) VK&BrC
;M]e:|
公式一: 6fd7S7}}I
h2zNPQ%
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: zO[5$rQ
:{;}rU~
sin(2kπ+α)= sinα [l`NcU)
)+ ?=^u
cos(2kπ+α)= cosα CU{P{gu
E?2&,7x=
tan(kπ+α)= tanα
d\0o{?
(:vX*/QoW
cot(kπ+α)= cotα /@vFJ(/
FdFr>. so
公式二:
Z<n?7 w
*dneQ^
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 6$W@Qljg
A%
4QaT
\+
sin(π+α)= -sinα ]dQ[{)/Fqt
.2,/!nQ"W
cos(π+α)= -cosα ix
/aZOI!
[?:RlkoU
tan(π+α)= tanα Eo8L
>+gh
6%.Ls!
cot(π+α)= cotα /=#(2fA
Vnsi'd
公式三: sm^HE9\0A
Z]/~5@
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: /x]I
Cs$
B^x
sin(-α)= -sinα W+8Xlj.
*`nq}'A
cos(-α)= cosα ?[d77ndD
1%dZ@S
tan(-α)= -tanα av]=I!e
.f7GBbx;
cot(-α)= -cotα c
Uy7>}B
/H$
s+v[ym
公式四: L~`PM)x
?3ApIA$f
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: >Qu M D/
bU5\7D$[>
sin(π-α)= sinα hC@ dV/6C
7`>*yM
cos(π-α)= -cosα [f;'&,b
a21K`{-G
tan(π-α)= -tanα ;'y }zF
9
wQ ?u-
cot(π-α)= -cotα h| <'EXL:
<!U.!s*z
公式五: -Y9bsdFsV
V=G[x+
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: fh;IDKBe
j
0
".TJ
sin(2π-α)= -sinα E_F.cAN<
*:!bOl
cos(2π-α)= cosα C)<'&Bw
nlu GZ=3
tan(2π-α)= -tanα N_)?,
o8>wzD'=6
cot(2π-α)= -cotα +\I84tK?
5]x )8C
公式六: $
SE
zHj6
%1ea\b
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: M$:
BJmFqI
sin(π/2+α)= cosα Q.daw>hJ
XG6iUul!
cos(π/2+α)= -sinα :0OzW2'2+
;Mld6P '
tan(π/2+α)= -cotα 7h<c,k$,
m C7*D:kH
cot(π/2+α)= -tanα Hnv n F
n}DHFI pMg
sin(π/2-α)= cosα 0~KV=2/6C
AzPf
f
cos(π/2-α)= sinα |{l]
AQt
6zs'?=ki."
tan(π/2-α)= cotα jXAHuc9
|d>PG\*2!
cot(π/2-α)= tanα K<S`?V7
ihg &U6
sin(3π/2+α)= -cosα ]#0= 6
/1.*vF#
cos(3π/2+α)= sinα 1at/UE|Z
xM9_1?]`
tan(3π/2+α)= -cotα \EP{o `
.?,Rjq59
cot(3π/2+α)= -tanα Zz.SC b9
R_ 6o{@&
sin(3π/2-α)= -cosα F4rdkPUiG
@Cpdn|=
cos(3π/2-α)= -sinα HT6M (0]sW
[eg- ?!
tan(3π/2-α)= cotα V
9CjX
cqi`3-ym0
cot(3π/2-α)= tanα C|#(+*B9
Fzf<0
(以上k∈Z) x~91$'
vq ;_
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7R
hZIl
ckT0i?&
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = MCPN
4?
DDA!Gn
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "\F\R
L15DLMr(
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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