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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 gC,{-=Cb  
rIgHldPJ  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |emx|k>j  
= 7lhJ7  
　　1、三角函数本质： |?&(3O \  
xG'%1f3 F  
　　三角函数的本质来源于定义 T!Fhs9E*  
V@qK(sA \  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )rz8aS4-  
3 -/; h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 *!^Axo!-U  
=J&W/fn3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： y #y^T<v  
";WPtR=BR9  
　　推导： j)]~/[ d  
c]F5zP/Z2  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ZYjFgpTrh  
,G OZ*  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) L_4w3OE  
{Ra8ChaGE  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @yd [l,  
^d4jiph"  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 y)Td'k-vP  
v;8VG^Tl  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） r 2J(  
]r%t>NjfA  
　　[1] l$D=!r1CR  
{cmEs1=nC  
　　两角和公式 K?"-ii}v  
lxR9j#F  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cPTC`v(  
M@Wg /34  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ol.'s#y8  
 b38XW|>  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB [ X&n..lg  
&[[["19 M  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB U)n>t]h  
>|2tGp  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =P*hS<1  
rx'k[9mZ)  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )@=MUN@9#  
L=0L]tIig;  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  N*hA y#(  
v{X* :4sDT  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Q3Y}conb_  
`i9z3<  
倍角公式 -^M&L0 x  
*N *_o [  
　　Sin2A=2SinA•CosA \J BZbqR  
Hs;_BWv<Z{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 [mbtCcKU=  
:maM>KM1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） HC~},wU9  
A^OUIGfw,_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 4&ru's9a  
]jz&0~g  
三倍角公式 _Ws mA  
4ZT|{gP  
　　 .Rjgtz#~  
RwyL)iN  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ZyK1a3N  
RmvPelDZ;l  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,ot$#_2tQ  
ns)`iS  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) SkELibJ  
.x<u}m  
三倍角公式推导 `{ H<cM&i  
-8W;%Gf<=  
　　sin3a &~oW#Zi  
X -2G[ yI4  
　　=sin(2a+a) PK>99D^,  
Y}!HmoNW  
　　=sin2acosa+cos2asina MZy_XeT  
2%y)jO&n  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *oH2 [fEi  
*0TYV69  
　　=3sina-4sin³a $\ LZn<=  
t"k0OX%G\  
　　cos3a g"|4gZ#  
BJd&EvE09  
　　=cos(2a+a) ,OTNE6G  
dH3#"_  
　　=cos2acosa-sin2asina ,sXrnGH8  
1<;7Lj'b  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ,85UH%xL  
ECl'0MvI\  
　　=4cos³a-3cosa g`pQoC  
~e (]m,  
　　sin3a=3sina-4sin³a ;.w3o[3G  
#K56&_H]  
　　=4sina(3/4-sin²a) 44y]}WlN  
Qrjf8Q6 _  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~L_>.  
(3;%fHhJP  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) #7hMqd4h  
3PS{&;q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 5boPiJ:Q/  
*R>urF1{o  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &w?lc  
cnDTXwk  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;;H?;+x  
*FVvMr<6  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _)=|79%u>  
&H(_ PR5  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;;z)^  
;?Y?$:<)?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] N|xS$nT0  
YYp\@ ~F  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) d:GhI%S  
JC3uc&pV  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) tSG _FD  
.X\p\4Z=  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 8"O=[[Aw  
,_ h0dm  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]W,xTg ;  
I9IDZzS2dD  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] |E`~ hvqm  
/| `V8"Hu  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] !)84X['  
@-l~'K;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @/Z|MA ~{  
oan&4Yg  
　　上述两式相比可得 v$ T  
e9.e7Tw  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) D\$Dv  
9p &K9  
半角公式 K ;_jfAhi  
/p-j: f w  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $</=iZ.x  
+ %0^Qtn  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. MA')jN/d7  
Ln:+IR8  
和差化积 >}J"(06 {  
<AnE1H6h  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] kiJ^ $f  
[=Na L  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Pcf m07vB  
{K0vwF\&Y  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?mbvR(|=?  
>Lt@@"7X&t  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M?faov  
uV*5sJ+9%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) GFtcpfv]@  
@]Aq Nx\  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Cea~]S,  
r]stxx>  
积化和差 X u-BL!  
G ;SB}E  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] S@luH#J8  
hK,LxB  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 24Zk_ vr  
|Tb[f=D77  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] p9>&q%N  
9I[B! &  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ;$yS[7E?  
wW>#q@H0  
诱导公式 7t=c]tZ  
.);v6VD$S  
　　sin(-α) = -sinα 1MQWC*  
eN'Qc.~  
　　cos(-α) = cosα 0wU)#8E  
c>((>At  
　　sin(π/2-α) = cosα Ma)KQE!~ki  
[-05  .rt  
　　cos(π/2-α) = sinα 2B\+nJ f  
6 7kPM  
　　sin(π/2+α) = cosα F+^_ E:  
Da=PcQ5  
　　cos(π/2+α) = -sinα _<C/qX  
oy-i%Zm g  
　　sin(π-α) = sinα  cF1.L  
W5CGoC"-f  
　　cos(π-α) = -cosα W1\\@xS5  
yqEedGH  
　　sin(π+α) = -sinα Nn6L5Wt  
@N[lH<T  
　　cos(π+α) = -cosα BUYh,g @a  
r)T8Q TIa  
　　tanA= sinA/cosA }`2d D76  
>7J"O Hw  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα nHD^O;Y  
?Tx##(6  
　　tan（π/2－α）＝cotα PGzOr6{  
Y 6O|VTuj  
　　tan（π－α）＝－tanα n8YM/v  
t\4tG8zj  
　　tan（π＋α）＝tanα UB]f{t  
:Wx-wH*T|  
万能公式 6UtX_?004<  
'A nmk]2  
　　 CR&SU#\N{  
lnCe[Xle2  
其它公式 ;V$V  
!Fsx{Y&  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~,`AnsF  
R8)9xf61  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 g =bW"*byU  
:SW Ap  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ihhP*/  
n.S )+J  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ^Gk`T>?  
1:2zzyo7gV  
　　对于任意非直角三角形,总有  HFfV\  
6O?Ej?`?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >M,Zbne  
5"~kJ .5Z  
　　证: M >(S?o  
[9'S;v  
　　A+B=π-C 6nrzYS1  
"08{lK  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ;#tS\:oW  
Q(=@{#rle  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) p48]O3 _jr  
R`]Vw ;  
　　整理可得 c&w%pfJ/  
TyXR"nmbC  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 64UMo9sqw  
KrHqJaZ?d  
　　得证 G5c^8  
S,({ ^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w\bP@O>  
K_$?W\  
其他非重点三角函数 ] Z%@q  
ByYpvto  
　　csc(a) = 1/sin(a) *%3[(ye~r  
0^%ky@  
　　sec(a) = 1/cos(a) g74w.kP{$  
ljf2VSpr  
　　 f >w{~!Z  
@ d'QelF  
双曲函数 1 T%yQ}b  
'Git>n  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?s'iK *(E  
a}("  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 G blQ"}2C  
c#pb{~6B6  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) VK&BrC  
;M]e:|  
　　公式一： 6fd7S7}}I  
h2zNPQ%  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： zO[5$rQ  
:{;}rU~  
　　sin（2kπ＋α）= sinα [l`NcU)  
)+?=^u  
　　cos（2kπ＋α）= cosα CU{P{gu  
E?2 &,7x=  
　　tan（kπ＋α）= tanα  d\0o{?  
(:vX*/QoW  
　　cot（kπ＋α）= cotα /@vFJ(/  
FdFr>.so  
　　公式二： Z<n?7w  
*dneQ^  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 6$W@Ql jg  
A% 4QaT \+  
　　sin（π＋α）= -sinα ]dQ[{)/Fqt  
.2,/!nQ"W  
　　cos（π＋α）= -cosα ix /aZOI!  
[?: RlkoU  
　　tan（π＋α）= tanα Eo8L >+gh  
6%.Ls!  
　　cot（π＋α）= cotα /=# (2fA  
Vnsi' d  
　　公式三： sm^HE9\0A  
Z]/~5@  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： /x]I  
Cs$ B^x  
　　sin（-α）= -sinα W+8Xlj.  
*`nq}'A  
　　cos（-α）= cosα ?[d77ndD  
1%dZ@S  
　　tan（-α）= -tanα av]=I!e  
.f7GBbx;  
　　cot（-α）= -cotα c Uy7>}B  
/H$ s+v[ym  
　　公式四： L~`PM)x  
?3ApIA$f  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： >QuMD/  
bU5\7D$[>  
　　sin（π-α）= sinα hC@ dV/6C  
7`>*yM  
　　cos（π-α）= -cosα [f;'&,b  
a21K`{-G  
　　tan（π-α）= -tanα ;'y}zF  
9 wQ?u-  
　　cot（π-α）= -cotα h|<'EXL:  
<!U.!s*z  
　　公式五： -Y9bsdFsV  
V=G[x+  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： fh;IDKBe j  
0 " .TJ  
　　sin（2π-α）= -sinα E_F.cAN <  
*:!bOl  
　　cos（2π-α）= cosα C)<'&Bw  
nluGZ=3  
　　tan（2π-α）= -tanα N_)?,  
o8 >wzD'=6  
　　cot（2π-α）= -cotα +\I84tK?  
5]x )8C  
　　公式六： $ SE zHj6  
%1ea\b  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： M$:&#  
 BJmFqI  
　　sin（π/2+α）= cosα Q.d aw>hJ  
XG6iUul!  
　　cos（π/2+α）= -sinα :0OzW2'2+  
;Mld6P'  
　　tan（π/2+α）= -cotα 7h<c,k$,  
m C7*D:kH  
　　cot（π/2+α）= -tanα Hnvn F  
n}DHFIpMg  
　　sin（π/2-α）= cosα 0~KV=2/6C  
AzPf f  
　　cos（π/2-α）= sinα |{l] AQt  
6zs'?=ki."  
　　tan（π/2-α）= cotα jXAHuc9  
|d>PG \*2!  
　　cot（π/2-α）= tanα K<S`?V7  
ihg &U6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]#0=6   
/1.*vF#  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1at/UE|Z  
xM9_1?]`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα \EP{o `  
.?,Rjq59  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Zz.SC b9  
R_6o{@&  
　　sin（3π/2-α）= -cosα F4rdkPUi G  
@Cpdn|=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα HT6M (0]sW  
[e g- ?!  
　　tan（3π/2-α）= cotα V 9CjX  
cqi`3-ym0  
　　cot（3π/2-α）= tanα C|#(+*B9  
Fzf<0  
　　(以上k∈Z) x~91$'  
vq ;_  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7R hZIl  
ckT0i?&  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = M CPN 4?  
DDA!Gn  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } " \F\R  
L15DLMr(  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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