三角函数内容规律 8Y;#9c.aH
/7h4c~k
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F[% Uym
Z
#\@ u6~Q)
1、三角函数本质: #nK9IUO5HI
N|n)!OTd]&
三角函数的本质来源于定义 #:
kO68E
m`GVlCx
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PuhF43XK
hux)<
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 otjR=
;[r#UK=|W~
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: M&[H]LBN
:wpYV|m
推导:
&xR89m
4^szY]6;
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 6UJ@e~6m-o
l[?DVZk/n
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \i"qIEF
xD|uy~ ;
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y
F {l
X W!d[ [
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ozOg.{:d"k
<Z:+3 C"
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) F3j$
U:=c
jeW1PX'",|
[1] -ZnBZGq
4P$eqkHd
两角和公式 +s)9lkD
_l!#-)o;`
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |Wa(cn%\
PnN;KsW5-
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB .oeCC&5s
+Hr7B{<
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yVW$fA N
G=lv'=
:,
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB P}'hCH;g
m@6sZa%w0
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) naGp;.
OtjG
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) xVkeo#
iX]tR-h
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) \?D%%6yMh
~s7dui e
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 59D g1"0
7x<:f
倍角公式 qs. 6@UO
KV_6
Jt_
Sin2A=2SinA•CosA ;BtR
#a
41#sED~j>
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 In"ArvE
oa05*Ux9
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) Fhi$h=FX/
@K.E!OSqR;
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) = 5w1$^
,!:`?jH;
三倍角公式 e\5p6Z$
uoT5q}~
ad##s[{L
iA9z%{N
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l'
1Ie[
i<%L2Hi4
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) /<C78H
}X"Xhm
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) $zuL3i
9Mz Z'zP
三倍角公式推导 g"XTMx
*'a?fzsSS
sin3a >5%(|%t`
MZZ^4OW?t
=sin(2a+a) F2#e+4,
WVdgtKLe
=sin2acosa+cos2asina ehP6P[~
1tRs,
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina sg2PIG
L{=i5:
=3sina-4sin³a VSKX9h;<Zp
9zjw,Rc6a
cos3a @}bq`T^_^
r$>i&Gi
=cos(2a+a) J}, Ve
($+1#/
=cos2acosa-sin2asina 1vJ^jrE
xFe+]M;.
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa w
GwH!CJ
lIT6O@:
=4cos³a-3cosa %psuV!W
|QFzB~Y
sin3a=3sina-4sin³a i E9l28
3<JM
BH?
=4sina(3/4-sin²a) X:;$y~
{O?U3_
=4sina[(√3/2)²-sin²a] H/>sHY O
<4U|f'#9
=4sina(sin²60°-sin²a) 9+O5X /
&r2[zo
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kz0FNXf
b-JmJZ
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] VL^%c3W
+1pA|
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) % <k"mNI
,y9[cj61!
cos3a=4cos³a-3cosa *4m
g&
\3lh)3&o{
=4cosa(cos²a-3/4) |35V
l
WL,i}J)4
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _%9%-\U:m7
-W}?N3k-`;
=4cosa(cos²a-cos²30°) ?3IF+rgXp
+E0Jn :>
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) M#rzCI
i>i`Tu8Kg
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} tE`Qj1bsQ*
]"6?L}h
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 7W op6(A%
63{NW.
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &I!*>!gp;
mAI2UY6#{
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |P
?h
6e^=D)%G
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) }
dMfqd"
/$W'M.m-
上述两式相比可得 U,usAoF\0
[(%6+E
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z_EUHh
h]/" {)
半角公式 Q z^{6\V
hRk0xz;6U
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); "|8zoyg|$
W_f9n`\
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. H]*bMZ
h[R9R]
和差化积 Yul=\C[R
l/52t
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #h\Cx/R+t
b!AD|!B_'!
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B3X
U`"1-]O
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '}.q+z0;Pe
8Z\<0_
>^
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Y(2P8~>Z
4N] D(n4}
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) p`x`<eq<
mP_!'<m
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) nxKd{Lti.}
*__De; :
积化和差 l&JA7?N
>(.k'#=
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] p}sI{l%KK
/{=l2
r
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] b=Nv=z
8#;nI7q
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {'a 6$XH%
4#"S
/
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] mpCr
%6)@[#j#
诱导公式 &m+j:#V3K
t=-eh
js`
sin(-α) = -sinα T %Tn
/
:8k9@ Z'c
cos(-α) = cosα 2gvub"S'
Nt {_Nfe
sin(π/2-α) = cosα T.O}DjLo2
lV/e$}FB5
cos(π/2-α) = sinα u#oAs
gq
sNV0
sin(π/2+α) = cosα cf=@UITa9
g1OK\jsVn
cos(π/2+α) = -sinα 8+4LXSD
{
Z'#.-.s
sin(π-α) = sinα "|}B"bzNm
{"nrIU
cos(π-α) = -cosα n;GoAF
lMAX_zA}\
sin(π+α) = -sinα -&OFKGu
j7uPF(S
cos(π+α) = -cosα !u9tupK
4(EU\7Ys
tanA= sinA/cosA @w8%^tj
,My6C
tan(π/2+α)=-cotα V9ww>nNw
b}T/(j>"
tan(π/2-α)=cotα gM,w2tdK'
O=8Q(c< G8
tan(π-α)=-tanα mhKy6]l
a4/N")X
tan(π+α)=tanα #
1AJ7
j5y K
万能公式 Kc&dJ\
,7{'Ee8,D
9'%toRLAj
31mDw2N
其它公式 qlI?!2
dT|go%Q
(sinα)^2+(cosα)^2=1 k RFE<*U
b@ d,%f'i
1+(tanα)^2=(secα)^2 `G 7a6$
>\&x'LPsU
1+(cotα)^2=(cscα)^2 T2:$H
w@Z
TM29AG&)~
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 yO)2euul
f\"S#Jr
对于任意非直角三角形,总有 F&S{G3P|
9Q~0.;(!
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <V46H3\ku
O
Q+B?,Dw
证: Q4pHV3%
t*~Hqb,G
A+B=π-C A&CVobLYC
^RAeu
tan(A+B)=tan(π-C) Xg.q#;r
4s[.;K/|%
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) TyO
Vd'|
x0% (3
整理可得 1v=^z`
7k
M[6K/
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Z}|.Lv
D;(hQz[K
得证 tNcra~lTm
SBf^~7}o
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1MTt'J@K
||P4K2KT
其他非重点三角函数 KYt^Vv@N
k/E/~]*YZ
csc(a) = 1/sin(a) ^CvdEBm
!@F]p|cs
sec(a) = 1/cos(a) >
n~C(d
dO$5 X9
Cwgm]w$cs
g-,.n
双曲函数 TG7c<ZFO;x
ek[HYN
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 <% "q9n-v
sB9
22|
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0bihMoz^'
e>l:X
s<|
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) * B!#\r!
m'i&P}
公式一: 6S*d|2X5
Oa41@)j
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: N0^?|K.
&yy?PK b'
sin(2kπ+α)= sinα $|Rn{lNz
d^-Z_RMU
cos(2kπ+α)= cosα #L(v]Bu-
F!(\yB-x
tan(kπ+α)= tanα )Qy.$ )r
rfnE)O#
cot(kπ+α)= cotα k$~'_0;
XeRlM
公式二: ["n,O~]
T6R>zQ
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: Y0pXtX(P
=b5!sG~iwy
sin(π+α)= -sinα RxwFx?qu8
J/;(!B7Nd
cos(π+α)= -cosα 6pt3`!
ooTWtB$ %
tan(π+α)= tanα <C7:JE_C+
!^uhec)W
cot(π+α)= cotα ^5W5 pA
WVA
公式三: f=+c]1Q
gt
^&ZHm
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ?ip$"yS$
nOP{Td
sin(-α)= -sinα eD&C3kg
x:=o"}S81
cos(-α)= cosα yb3"
w;/
-
)!w~),
tan(-α)= -tanα \o[.=D3:
8 Z<c'?,1
cot(-α)= -cotα mYw0@X~FU
xRc:L#V\
公式四: VYV$ /H
"3`>+ Ii
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: N}F'I%a=w
T~sQf8qH
sin(π-α)= sinα ~Ib+yBK<=
T!&{dgnK<U
cos(π-α)= -cosα FmA_r;<
0rhd
BZ
tan(π-α)= -tanα ZDho
-/[Jhj%?<
cot(π-α)= -cotα $~w0g.s
#1z)z(kiO
公式五: l.^&ySQ
L1PXk:f
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ;F:\zlc#
!G}?5shY
sin(2π-α)= -sinα 8&I_XvMw
>xj!i"y
cos(2π-α)= cosα kRI5W
/.
){S49XbMS
tan(2π-α)= -tanα }EGDNOd
5Cn|VBa
cot(2π-α)= -cotα r%l $e`
n)AAy><.=
公式六: _y|]f9*M>
9;b z
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: *?mq{qS7"
0Z A68Y
sin(π/2+α)= cosα e!JO(
|~0L,/@Ia
cos(π/2+α)= -sinα #,"+.b.k
F@++rMnW
tan(π/2+α)= -cotα ">ld,K}2~
:$
2u\{f
cot(π/2+α)= -tanα ,`bcDAG_
;!j8)7Nd
sin(π/2-α)= cosα wj_l^Y2=
0s.ZF9fr
cos(π/2-α)= sinα 1>?@q!K
Fa6 "sZ~Q
tan(π/2-α)= cotα ?qwiXGme
)(1yRv)O
cot(π/2-α)= tanα oh%Cv?7i
k:+X|V]y9
sin(3π/2+α)= -cosα tG9F<
9Q9yfc3
cos(3π/2+α)= sinα Y{;W1
A~KvQ
tan(3π/2+α)= -cotα u~GRO5$h
%vNVX5WP4S
cot(3π/2+α)= -tanα sJ]Cx1Q
[dNzzCnpS
sin(3π/2-α)= -cosα l
Bzi}L[
gid;p#xt
cos(3π/2-α)= -sinα ;zhvX*(:<:
v"yWYC!
tan(3π/2-α)= cotα x J'Gw`:G
9^DK7
cot(3π/2-α)= tanα 9/,mrcZ6Vl
ckgt@d2&d
(以上k∈Z) 3vaM&|c
{p<.mhk[J:
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 M-&rh$Dd!
rsC6|.r53
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Vb C"^40d
`h~=d
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } bZpJ&\'v
{T+1<h^
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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