三角函数内容规律 9qN. {}^
_7,>{:b
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LQq?7zytR
JSfV~="F;
1、三角函数本质: 1NR`3.[(d
r|{Am(~
三角函数的本质来源于定义 s@y
M`[;
X>]Mm9+
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9hEeU(|cE
XgG3vWpoW0
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 \TDaix+e-o
{E%T_jB
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: v4cUcW
dJ
+FK* Nq
推导: MpkC
Pc
hs;26@,c
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 =qMo.\K
,8.X=1c
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
W
a8qM
J%PL!Ih
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WwW
o.S"q
"9 DxFq
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t3L+H\eyq
l@S[X/
i
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Ku BgaEv
(_$J!\14|r
[1] p"pQYoeo
ki"|O))
两角和公式 \S,
W5H
<?a30wg
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D]+[z=Cf.V
NhhP9
xA
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
B6|g){
]OrV "`U.
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Qz?UE3%f
fD>6#X{$
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /W7-\L
w*
c\xlFemo
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uf S.+Q,
*:Xe%6}(c
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B
S/zDJ
0(PRvw%
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) UTDh8|ad
uYb>]Dqn
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #2
d ;oI
8'.U3f}C;
倍角公式 KO)zS21oKW
SlpZ=-
Sin2A=2SinA•CosA {*+
`v*
l8dTjFM0
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 rVaV v?o^=
}<psyebuS
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) UwK{61w4
C.E8nR//>
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) #D#Q]&Mvj
#Cb?
Jz27
三倍角公式 CKze>w
Kg#1%3Jfu
ya=rf4~=
ESs:EY
t
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) NZucQ[_w]
J:U+%3_-
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ^
it
FvisK+>z[=
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) fN& \lQ'
d52Wmt
0r9
三倍角公式推导 g4Yz>t/0
%:xgetc[
sin3a bF}Gstdh<
daU[Q1(9
=sin(2a+a) T5QI~5
&?_2u\oA
=sin2acosa+cos2asina _K2[=2
w7ji|
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "
4fZ_)EdI
uAUM6,a.`
=3sina-4sin³a Ai%]:
Cz= S}8+X
cos3a !{Y_St,"
F$!n
=cos(2a+a) anQW}
Img&21<
=cos2acosa-sin2asina 0P0Eo
?P#|<Y
?
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa #':aT96h1!
4p;
=4cos³a-3cosa zP!l`"VBY
w?
w#L%.t
sin3a=3sina-4sin³a H"5YjP:m5
@F.{2"
=4sina(3/4-sin²a) ( ^6Gnu}19
UdbW8<l`
=4sina[(√3/2)²-sin²a] n6JJMJ
X
jd={"U+*H
=4sina(sin²60°-sin²a) .14uPmV
"eU9jH4L%
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) rh)]:>>@
W\Fnj#
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] \v'CsV$>
xRII3
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) tCs.EQ?4;
OrZEjF;
cos3a=4cos³a-3cosa <jL{CR
8
0ZCE0<GQ
=4cosa(cos²a-3/4) Jv)eZm5n
Bw?1[lnp
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] wOB'*66#(
eSt>sG\`
=4cosa(cos²a-cos²30°) ~@VpM):
@#xqpCB]z
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) '7qSH
>%}K/19@
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Y>5[i\
+ik
%4
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Ix ?k<HL
wpI{}ZIp
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] DoA%_MPn
.3-,6GSC
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2
mCb)7R
Q#@|uhK
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) j8_Y=@
a;jy-XE{
上述两式相比可得 D[CsM"@
dFcLCk+
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1p$!PYx%gl
s99~VQe~Qt
半角公式 0+MFwA8H
J3DJS]Gl
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zO%0)ik_*
?SKS[dq#q
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %Zum5g
t2P^
和差化积 `j:pWGR
rB3!Nedu
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] DGMJ\C
M5(v:6
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7On9co_
o6 $6
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zBkLS'$(
[\g~E;j
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R|j-C&~
ys
Yk<E
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Z&+tHdI
<_w[E+H
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) GCk^2W
#&pEW
积化和差 M=[K\<K
S2X++s~
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m*U4KJ
B3{EI1
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5"wE
!Ak_w
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] AZI3'Ax$La
sYZo/
$
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] o4:t*1
rNHut{['X.
诱导公式
TaH0&v+
/3xP*'lX
sin(-α) = -sinα WJ@x>Fk?
hdqjs3H8
cos(-α) = cosα !$$WiGWb
^N(b v$
sin(π/2-α) = cosα iB=":
b;]^4LtURB
cos(π/2-α) = sinα nV*p]Czq
1s|Q{E*\
sin(π/2+α) = cosα ^q
=E]
M-?#31.s
cos(π/2+α) = -sinα _Q5Xj}
+Qg;/{}5
sin(π-α) = sinα s^@Z`
J
A];'jkP
cos(π-α) = -cosα k \:%.h
Khj<5 $}
sin(π+α) = -sinα $2\yHAIt
iLmXpE_Q
cos(π+α) = -cosα I[>us!f
jSIu32
tanA= sinA/cosA o6Kgyr
q'#g
s
tan(π/2+α)=-cotα M&U263l
4K_Dw&K
tan(π/2-α)=cotα 0Q`_H|3 /
NE7cFx3O4
tan(π-α)=-tanα Db* {=c
^C]-%uV
tan(π+α)=tanα DY$aPsJ
@%~7+*xD
万能公式 )re="iSC:
1\'26*(v%
93}tf#S&
b|rvp_]e
其它公式 &PY7)8p
fZhjIEi E
(sinα)^2+(cosα)^2=1 cD7zhpnpK
Z >q]*l]
1+(tanα)^2=(secα)^2 tUKh2=[:r
Vd!^_Ga;xs
1+(cotα)^2=(cscα)^2 9K1Z(j;S
e#3{:R*
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 l^ o=C#H0
7H""2[$PZ
对于任意非直角三角形,总有 yGK" }W
?lHUk)t
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #oK%@|Y:?Y
'G<Hsaj+
证: 51T2l\p!
pQV]*e1
A+B=π-C lzF5?
:2*;
KT~$RR_@u
tan(A+B)=tan(π-C) =D3Wdb-
}Q"S][QK
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
|.b
fq_
z8n&zJ
整理可得 O%P<`
EN~<e+9O
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC AE1@.j`b
yyqI4?
得证 ]--1BN
O.P q1 =#
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 xg~r%|
.CwT
p=
其他非重点三角函数 7Ud3N3
+/q
pM)
csc(a) = 1/sin(a) 2L+9%.lN&
|dJ@8`
?
sec(a) = 1/cos(a) M}&H5L\P4
J#)RvO]
p@/6"
$vZ
xC,35u72
双曲函数 FLo',O9z
SEb9;[Cj
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bhfYe@&C
NA]]K]#(
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p'sZ{' 2
:79Hsvzn
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 60+"Ir
HNQavykNy
公式一: X$$&"pv:?
+J3'f<
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: gj'v`b!1
HAW2GQ#]:
sin(2kπ+α)= sinα X+Uj O%
VWPQvH
h
cos(2kπ+α)= cosα n)'w[m&
91e^d]P
tan(kπ+α)= tanα <| QFYqm
?sJjFU=
cot(kπ+α)= cotα l<[3@Oyq{
TWQ6p'gl
公式二: NG9o
H
X5YdB>`XU
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: #Hf ! 5JK
jyX,Jc
sin(π+α)= -sinα I0<JiUhi
G
QY;yM
cos(π+α)= -cosα fl0x.uk
Oo]XwTa=
tan(π+α)= tanα jx,jNA*b
*0|@jh($
cot(π+α)= cotα @FEcxN!cLX
@(bJtPX
公式三: 2S
WP
GSSkE
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 3bMN45R
U 7e_k
sin(-α)= -sinα HBP6hLB3
w)O9.!Z
cos(-α)= cosα P:X3_5a
{65}3P
tan(-α)= -tanα :
yX4ea
{g
"wg=oG
cot(-α)= -cotα c[qBl\A
"-d[7Jn$
公式四: Q'k!+1Lg
/I3,Ji
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: `f2J=lL!h
=w$n=L;0
sin(π-α)= sinα 2%,}V4zx
[4_
kjEf
cos(π-α)= -cosα "v)APp~l
5jR =OW
tan(π-α)= -tanα e,h4{F
0kFf9 P
cot(π-α)= -cotα
*=z7nH+
N
/Io"4
公式五: oJN?*`P
!Jzeem@?J
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: i]6@{A
0r!dg8a2
sin(2π-α)= -sinα o>wD'(A~8
RW`Q_x
cos(2π-α)= cosα $>>ZmM8?*
\yv<L3v
tan(2π-α)= -tanα zec(uK(
LhaGw
fwnI
cot(2π-α)= -cotα IB;i3Sll
@_ qP
公式六: @f9jeE'Pj
Z-L.X>l6
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: UJelmEP|
Hh'7n
sin(π/2+α)= cosα )K,2\g<Y
K]$e8
4
cos(π/2+α)= -sinα >mzQz G
Fw6Ff$xTKt
tan(π/2+α)= -cotα %28}G,rk
cfKo'M.\?
cot(π/2+α)= -tanα f|(K;Zvj;
1QE@ZUC+d
sin(π/2-α)= cosα $n1<wTO
fQ!neP~\
cos(π/2-α)= sinα JGtnl|F>
zk4f!.
tan(π/2-α)= cotα )(aO|J^
Qe)rp(1kg
cot(π/2-α)= tanα gJThx=`r>
*$l/
sin(3π/2+α)= -cosα S#Lq kKN
OymSSjrA
cos(3π/2+α)= sinα > uu~F}
F3xC60A)
tan(3π/2+α)= -cotα z=^[^o
1?U}=~
cot(3π/2+α)= -tanα P,W"(~i<G
59dTlm"TC%
sin(3π/2-α)= -cosα #^OD*K'Bt
$- kdf$R
cos(3π/2-α)= -sinα w6lms$
5?<'}3@0R
tan(3π/2-α)= cotα mVTd*;v#w"
x^gH'Qls
cot(3π/2-α)= tanα i^c|fVd+j
]jz-f:{N
(以上k∈Z) "&Uk&_~d\
IP'^$@#
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 5S=~>F|
KO
+{/
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = h6qGlRQI
$i/gIA.s
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Tde'0)+*(
D,
bs(Q#K
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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