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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 )x'OT|N*\  
+ lsEC'-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. )9pe{+`4  
Px}oz6 6  
　　1、三角函数本质： b?0 %A2u  
5frl<7rB  
　　三角函数的本质来源于定义 Kj?Q2{ x4  
_9yYASiR_  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %uKn_U|  
,BX!9I  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 u4k"GDoZ  
^{rEfl:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： @D4&- ^R /  
LykS~oWV  
　　推导： !sW`]"7of  
Eik&q>N  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 X4dK( U  
csF.pb{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) /RXLLr{Z  
I-dNjR>[  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4dv"1h Vnr  
s8#*^1SC;O  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 KaPT Z   
*{K.%?E  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 96SB%hk(  
;L21 lT4  
　　[1] <Sow(V Gf  
Itn4n jRq  
　　两角和公式 bHIF[F)  
 NO_Ha  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #@aY M  
{*4t 5We;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ['ir2r  
wIj9m!hL  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cZI`(  
BRSgSfa@>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB nn7'/^47T  
E< rA RF  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) .;E3 4Y  
MT6Ggbc5X  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^c#{rT~t  
.n>[zy{yT  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  &(y0oc/  
DQjrJD[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s-<.lN  
Y]lM@gVmU  
倍角公式 &l4`~RzH  
{\ rr?K  
　　Sin2A=2SinA•CosA $8UHo*a  
K@)z>mU  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 / }o5j4*a  
 u<6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） \Ym<^s6ZF  
!Y[OgsR  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） |:+]IxHs\e  
hV/i<CE  
三倍角公式 K+oi:k0v  
D8Qs*9; t  
　　 WeOv5~~j  
 gv ~xYLL  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) o{D',7HbY/  
_Y}|6y- )  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n[.yP~:>o  
tz|7\L c_N  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ^gGImAx <C  
9D0m/$|~n  
三倍角公式推导 ?-Myy=1:-  
V/F&?jn  
　　sin3a Y\MOpz_f+  
3^oR/cTv  
　　=sin(2a+a) \(pe#D7 W  
h^S=i[HE_  
　　=sin2acosa+cos2asina ~QX(UV,,  
W*HJ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }kg~w:5c  
*&h SFy~I  
　　=3sina-4sin³a r5S?In  
plYx=gB6  
　　cos3a 1$i1#0r  
>|=A]mA&  
　　=cos(2a+a) ` s!<eR}d  
0n_brVB;W  
　　=cos2acosa-sin2asina (CpeN_Y  
~T0(w*f  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa dNC4 G4  
7]4)H(G  
　　=4cos³a-3cosa OHC4R:v0W  
&\Y9D ^d  
　　sin3a=3sina-4sin³a Eln1@r+  
Ez[6lr8a  
　　=4sina(3/4-sin²a) bSF';X I  
B.WKExIX*  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] l'7W3)tw  
%WU>QF7&6:  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ${| mY9r  
>:jjg0p}`  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) *fb^`& JG  
_)#@z?vYP  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6yX}WV.vX  
|B lr3guD  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ZX '8@?  
e uGH$x  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _(/Z=% -!  
y9yz!/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) jS0=ov~  
yX{bHN[:T  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Qz,Rs1Q)-  
6: fk  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Lkg;Sk8]I  
'!Vq!h  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Z;Ya6epq  
l\$?>N7 S1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} eDn ziU  
4DKK=-6  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) [z6F?$GU8  
% v lUu[/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +shjx   
]]U)!`Dc1  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] IMm]`7;X  
2/~XXz  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9y!=*-mK  
3xu?SmV4Zs  
　　上述两式相比可得 ) N>Dy  
)FHzT BU  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3N9^^iO  
7Z /ZI*~  
半角公式 ;R#MjdePX  
IGF{  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); MZ>J % x  
sayf(6DY  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Og.,D/Brr  
q*`CPYs p;  
和差化积 s6x lU{7N[  
sC;E<oC  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z?RMNE+  
C-;!*G  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] r$60#wZ  
T6D[N-c  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] h` BFIE <Y  
Tn%g^bZ1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ND 1StPy8P  
47)5KX  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) eLEA6<-f&J  
SrOPkHW'-  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) AI3p]Qr  
yAHj_\Iw  
积化和差 2aA:a>QE2  
eO/PC/ 12  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] eq%dT|'WM  
8>S jQCN  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )uYcw 0XJj  
(dLWtF$E  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] KYc9ds4w  
+_9E*(  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] h++U9<>O\  
},WZ v5o^  
诱导公式 ^:QL>[dx  
-gEK=%E  
　　sin(-α) = -sinα ANL1IPMxoC  
S}:jkSvJ  
　　cos(-α) = cosα 5L;Aj AA6  
 K[1Su  
　　sin(π/2-α) = cosα T5}F 8T R  
.eu~.#a|F  
　　cos(π/2-α) = sinα ~R(jkqpyM~  
B&d7zD  
　　sin(π/2+α) = cosα lb"wEi/|  
ShZ#VlP  
　　cos(π/2+α) = -sinα M7#A<t  
<8[>c\Qi  
　　sin(π-α) = sinα ?*Kj$  
*uBa4Q~  
　　cos(π-α) = -cosα ?jaU+~Bb  
Ab@> ~R-;  
　　sin(π+α) = -sinα _\ ~!8(t  
wt%+zupw  
　　cos(π+α) = -cosα r j:_V  
cuS.C*0  
　　tanA= sinA/cosA w)#b,Sc$.  
# )N\(e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 9#N R;vq  
I= {UJjNx  
　　tan（π/2－α）＝cotα A;#%EO2  
U')@ e  
　　tan（π－α）＝－tanα Z8(|W8*gR]  
,|e_}g  
　　tan（π＋α）＝tanα 8F!0dc  
|\I^_aH  
万能公式 GpxWg[6,;  
;^fe["T  
　　 \oQX)4Y  
U$-\!d\xE  
其它公式 TZ2;$ORG  
+LtyXc3  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 LlPC.KCzc  
p]|RRi/*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 F4*'_Nw[a  
ZaQCAF>  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 V.Ng'  
S]y.E'y/  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 b ){W_Q  
&I%r>AqOXl  
　　对于任意非直角三角形,总有 YI.s Q-;  
0]6w*QJ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s$C%4;t  
37C0 Lh  
　　证: ,gex3pql n  
e^YhKX@?y  
　　A+B=π-C ]H2cx1?"M  
/6Mp4R0Ls  
　　tan(A+B)=tan(π-C) w2jt+DeV  
c\ # p  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) PfK_[t ]GZ  
8y,)  
　　整理可得 eRbi9^  
`/&c>S=l>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :hd-,~9W#  
KmN qR_ &  
　　得证 4JHT }z^  
,$Ci7#eS  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =oS9/qd  
@hHo8,[wU  
其他非重点三角函数 mFG'Es7  
I+%^ YD  
　　csc(a) = 1/sin(a) xWE;q{m  
-zr~8vShw}  
　　sec(a) = 1/cos(a) K%D5JCl/  
^DFv$ }0^  
　　 ? nv;ZC  
WLiSH$YDA  
双曲函数 7}M 1%.f  
-iI]_56e  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0v<4^IB  
KdqY9'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 nYm;mi_  
.F$GQ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) M,U}R>8  
|&{_hN  
　　公式一： oE 4s*m  
{J5hLEb >  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {%OKi3d3G  
sC~,|{hN  
　　sin（2kπ＋α）= sinα N&1qdd9  
z.9{gtBI  
　　cos（2kπ＋α）= cosα a}eQ D<~  
jJ=w<s|{  
　　tan（kπ＋α）= tanα uz@hZe=  
d=i |_  
　　cot（kπ＋α）= cotα !kx1C7\-v  
O2Qz[kmwi  
　　公式二： y.&P,SRf[{  
(%r$wx  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Dh2x`}]>  
lu@no>D  
　　sin（π＋α）= -sinα /taGI{*O  
.MpYq~I  
　　cos（π＋α）= -cosα RO}U#p/  
cn6sFOx2  
　　tan（π＋α）= tanα J r(yd  
{$\.iI1  
　　cot（π＋α）= cotα :b9%9L/8nG  
wId0M4ZR  
　　公式三： =-8/ v@(  
g>cBp:LX  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Nld3a TO  
%;\#\~?6  
　　sin（-α）= -sinα S7gK w9V6  
9 K pQ  
　　cos（-α）= cosα cBJI  
*m#-Cy#`  
　　tan（-α）= -tanα uZE) kpO  
~We^cV  
　　cot（-α）= -cotα PZ\=2j)k\}  
Gbc3  
　　公式四： _|yh[Ls|X~  
YnvPh.];,8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： {^_)gLsTL  
<=lFt<p|g  
　　sin（π-α）= sinα x#G86/-k  
/m^S7g-Pu  
　　cos（π-α）= -cosα 1`IzlA\|$  
=7m$k@w*  
　　tan（π-α）= -tanα ~;L?Z+LL  
0*:Tj!  
　　cot（π-α）= -cotα 3muGKp(I  
Nt80aju|  
　　公式五： 8RW RlG,B  
Lc\[1@L  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： "^D)-jX6  
T#f`: r;m  
　　sin（2π-α）= -sinα QgYoA.i%.  
"}}<E?Tv_  
　　cos（2π-α）= cosα *Uw/r^v  
]l #gE  
　　tan（2π-α）= -tanα nRP [6Pk4  
W{2X}w?  
　　cot（2π-α）= -cotα @#0Q+'dgJ5  
5edm cO  
　　公式六： {jFR3PgL  
k&]p)|"AX  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： }):;A}7s  
.n>l>d<  
　　sin（π/2+α）= cosα 8y=*4PBk  
!gy}YVT7  
　　cos（π/2+α）= -sinα x CfOG.'  
1e36d<;  
　　tan（π/2+α）= -cotα Z`c=:[Cy  
2? j9()  
　　cot（π/2+α）= -tanα >Cq {q  
6u-=b7$v  
　　sin（π/2-α）= cosα +U, >Z\s  
,  ~:LE  
　　cos（π/2-α）= sinα xGMz#Dso  
R2B?<0~  
　　tan（π/2-α）= cotα G(HYuX-  
vi.+9"dEb3  
　　cot（π/2-α）= tanα >trBZw@ .s  
@82- ~~Yv  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ` :n,  
Z}:"^\=F  
　　cos（3π/2+α）= sinα ua5-@f P  
i\Vrk t$p  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 3QHC_p  
n WEN}.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα {mHUN6,C  
+}H}dH@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα <ZIO\^6  
`RZm+<0T  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  >fn i{  
<V[d'L  
　　tan（3π/2-α）= cotα o<1I@Hhb  
;L&q;1-:  
　　cot（3π/2-α）= tanα !HK-Nv8 jN  
mC|oKj 8  
　　(以上k∈Z) oVe9;7/Fa  
d_C!}G  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 K &WVE[g  
>#%} smU\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6QwttoJf  
3%6%n)  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } g)e!.N^  
mGXa*n7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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