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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 9qN. {}^  
_7,>{:b  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LQq?7zytR  
JSfV~="F;  
  1、三角函数本质: 1NR`3.[(d  
r|{Am(~  
  三角函数的本质来源于定义 s@y M`[;  
X>]Mm9+  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9hEeU(|cE  
XgG3vWpoW0  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 \TDaix+e-o  
{E%T_jB  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: v4cUcW dJ  
+FK* Nq  
  推导: MpkC Pc  
hs;26@,c  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 =qM o. \K  
,8.X=1c  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) W a8qM  
J%PL!Ih  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WwW o.S"q  
"9 DxFq  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t3L+H\ey q  
l@S[X/ i  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Ku B gaEv  
(_$J!\14|r  
  [1] p"pQYoeo  
ki"|O))  
  两角和公式 \S, W5H  
<?a30wg  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D]+[z=Cf.V  
NhhP9 xA  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  B6|g){  
]OrV "`U.  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Qz?UE3%f  
fD>6#X{$  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /W7-\L w*  
c\xlFem o  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uf S.+Q,  
*:Xe%6}(c  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B S/zDJ  
0(PRvw%  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  UTDh8|ad  
uYb>]Dqn  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #2 d ;oI  
8'.U3f}C;  
倍角公式 KO)zS21oKW  
SlpZ=-  
  Sin2A=2SinA•CosA {*+ `v*  
l8dTjFM0   
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 rVaV v?o^=  
}<psyebuS  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) UwK{61w4  
C.E8nR//>  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) #D#Q]&Mvj  
#Cb? Jz27  
三倍角公式 CKze >w  
Kg#1%3Jfu  
   ya=rf4~=  
ESs:EY t  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) NZucQ[_w]  
J:U+% 3_-  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ^ it  
FvisK+>z[=  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) fN& \lQ'  
d52Wmt 0r9  
三倍角公式推导 g4Yz>t/0  
%:xgetc[  
  sin3a bF}Gstdh<  
daU [Q1(9  
  =sin(2a+a) T5QI~5  
&?_ 2u\oA  
  =sin2acosa+cos2asina _ K2[=2  
w7ji|  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina " 4fZ_)EdI  
uAUM6,a.`  
  =3sina-4sin³a A i%] :  
Cz= S}8+X  
  cos3a !{Y_St,"  
F$!n  
  =cos(2a+a) anQW}  
Img&21<  
  =cos2acosa-sin2asina 0P0Eo  
?P#|<Y ?  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa #':aT96h1!  
 4p;   
  =4cos³a-3cosa zP!l`"VBY  
w? w#L%.t  
  sin3a=3sina-4sin³a H"5YjP:m5  
@F.{2"  
  =4sina(3/4-sin²a) ( ^6Gnu}19  
UdbW8<l`  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] n6JJMJ X  
jd={"U+*H  
  =4sina(sin²60°-sin²a) .14uPmV  
"eU9jH4L%  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) r h)]:>>@  
W\Fnj#  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] \v'CsV$>  
xR II3  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) tCs.EQ?4;  
OrZEjF;  
  cos3a=4cos³a-3cosa <jL{CR 8  
0ZCE0<GQ  
  =4cosa(cos²a-3/4) Jv)eZm5n  
Bw?1[lnp  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] wOB'*66#(  
eSt>sG\`  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) ~@VpM):  
@#xqpCB]z  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) '7qSH  
>%}K/19@  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Y>5[i\  
+ik %4  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) I x ?k<H L  
wpI{}ZIp  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] DoA%_MPn  
.3-,6GSC  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2 mCb)7R  
Q#@|uhK  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) j8_Y=@  
a;jy-XE{  
  上述两式相比可得 D[CsM"@  
dFcLCk+  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1p$!PYx%gl  
s99~VQe~Qt  
半角公式 0+MFwA8H  
J3DJS]Gl  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zO%0)ik_*  
?SKS[dq#q  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.  %Zum5g  
t2 P^  
和差化积 `j :pWGR  
rB3!Nedu  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] DGMJ\C  
M5(v:6  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7On9co_  
o6 $6  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zBkLS'$(  
[\g~E;j   
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R|j-C&~  
ys Y k<E  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Z&+tHdI  
<_w[E+H  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) GCk^2W  
#&pEW  
积化和差 M=[K\<K  
S2X++s ~  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m*U4KJ  
B3{EI1  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5"wE  
!Ak_w  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] AZI3'Ax$La  
sYZo/ $  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] o4:t*1  
rNHut{['X.  
诱导公式  TaH0&v+  
/3xP*'lX  
  sin(-α) = -sinα WJ@x>Fk?  
hdqjs3H8  
  cos(-α) = cosα !$$WiGWb  
^N(b v$  
  sin(π/2-α) = cosα  iB=":  
b;]^4LtURB  
  cos(π/2-α) = sinα nV*p]Czq  
1s|Q{E*\  
  sin(π/2+α) = cosα ^q =E]  
M-?#31.s  
  cos(π/2+α) = -sinα _Q5Xj}  
+Qg;/{}5  
  sin(π-α) = sinα s^@Z` J  
A];'jkP  
  cos(π-α) = -cosα k \:%.h  
Khj<5 $}  
  sin(π+α) = -sinα $2\yHA It  
iLmXpE_Q  
  cos(π+α) = -cosα I[>us!f  
j SIu32  
  tanA= sinA/cosA o6Kgyr  
q'#g s  
  tan(π/2+α)=-cotα M&U263l  
4K_Dw&K  
  tan(π/2-α)=cotα 0Q`_H|3 /  
NE7 cFx3O4  
  tan(π-α)=-tanα Db* {=c  
^C]-%uV  
  tan(π+α)=tanα DY$aPsJ  
@%~7+*xD  
万能公式 )re="iSC:  
1\'26*(v%  
   9 3}tf#S&  
b|rvp_] e  
其它公式 &PY7)8p  
fZhjIEi E  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 cD7zhpnpK  
Z >q]*l]  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 tUKh2=[:r  
Vd!^_Ga;xs  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 9K1Z(j;S  
e#3{:R*  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 l^ o=C#H0  
7H""2[$PZ  
  对于任意非直角三角形,总有 yGK" }W  
?lHUk)t  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #oK%@|Y:?Y  
'G<Hsaj+  
  证: 51T2l\p!  
pQV]*e1  
  A+B=π-C lzF5? :2*;  
KT~$RR_@u  
  tan(A+B)=tan(π-C) =D3Wdb-  
}Q"S][QK  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |.b fq_  
z8n&z J  
  整理可得 O %P<`  
EN~<e+9O  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC AE1@.j`b  
yyqI4?  
  得证 ]--1BN  
O.P q1 =#  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 xg~r%|  
.CwT p=  
其他非重点三角函数 7Ud3N3  
+/q pM)  
  csc(a) = 1/sin(a) 2L+9%.lN&  
|dJ@8` ?  
  sec(a) = 1/cos(a) M}&H5L\P4  
J#)RvO]  
   p@/6" $vZ  
xC,35u72  
双曲函数 FLo',O9z  
SEb9;[Cj  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bhfYe@&C  
NA]]K]#(  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p'sZ{' 2  
:79Hsvzn  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 60+"Ir  
HNQavykNy  
  公式一: X$$&"pv:?  
+J3'f<  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: gj'v`b!1  
HAW2GQ#]:  
  sin(2kπ+α)= sinα X+Uj O%  
VWPQvH h  
  cos(2kπ+α)= cosα n)'w[m&  
91e^d]P  
  tan(kπ+α)= tanα <| QFYqm  
?sJjFU=  
  cot(kπ+α)= cotα l<[3@O yq{  
TW Q6p'gl  
  公式二: NG9o H  
X5YdB>`XU  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: #Hf ! 5JK  
jyX,Jc  
  sin(π+α)= -sinα I0<JiUhi  
G QY;yM  
  cos(π+α)= -cosα fl0x.uk  
Oo]XwTa=  
  tan(π+α)= tanα jx,jNA*b  
*0|@jh($  
  cot(π+α)= cotα @FEcxN!cLX  
@(bJtPX  
  公式三: 2S WP  
GSSkE  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 3bMN45R  
U 7e_k  
  sin(-α)= -sinα HB P6hLB3  
w)O9.!Z  
  cos(-α)= cosα P:X3_5a  
{65}3P  
  tan(-α)= -tanα : yX4ea  
{g "wg=oG  
  cot(-α)= -cotα c[qBl\A  
"-d[7Jn$  
  公式四: Q' k!+1Lg  
/I3,Ji  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: `f2J=lL!h  
=w$n=L;0  
  sin(π-α)= sinα 2%,}V4zx  
[4_ kjEf  
  cos(π-α)= -cosα "v)APp~l  
5jR =OW  
  tan(π-α)= -tanα e ,h4{F  
0kFf9 P   
  cot(π-α)= -cotα *= z7nH+  
N /Io"4  
  公式五: oJN?* `P  
!Jzeem@?J  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: i]6@{A  
0r!dg8a2  
  sin(2π-α)= -sinα o>wD'(A~8  
RW`Q_x  
  cos(2π-α)= cosα $>>ZmM8?*  
\yv<L3v  
  tan(2π-α)= -tanα zec(uK(  
LhaGw fwnI  
  cot(2π-α)= -cotα IB;i3Sll  
@_ qP  
  公式六: @f9jeE'Pj  
Z-L.X>l6  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: UJ elmEP|  
Hh'7n  
  sin(π/2+α)= cosα )K,2\g<Y  
K]$e8 4  
  cos(π/2+α)= -sinα >mzQz G  
Fw6Ff$xTKt  
  tan(π/2+α)= -cotα %28} G,rk  
cfKo'M.\?  
  cot(π/2+α)= -tanα f|(K;Zvj;  
1QE@ZUC+d  
  sin(π/2-α)= cosα $n 1<wTO  
fQ!neP~\  
  cos(π/2-α)= sinα JGtnl|F>  
zk4f!.   
  tan(π/2-α)= cotα )(aO|J^  
Qe)rp(1kg  
  cot(π/2-α)= tanα gJThx=`r>  
*$l/  
  sin(3π/2+α)= -cosα S#Lq kK N  
 OymSSjrA  
  cos(3π/2+α)= sinα > uu~F}  
F3xC60 A)  
  tan(3π/2+α)= -cotα z=^[^o  
1?U}=~  
  cot(3π/2+α)= -tanα P,W"(~i<G  
59dTlm"TC%  
  sin(3π/2-α)= -cosα #^OD*K'Bt  
$- kdf$R  
  cos(3π/2-α)= -sinα w 6lms$  
5?<'}3@0 R  
  tan(3π/2-α)= cotα mVTd*;v#w"  
x^gH'Qls  
  cot(3π/2-α)= tanα i^c|fVd+j  
]jz-f:{N  
  (以上k∈Z) "&Uk&_~d\  
IP'^$@#  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 5S=~>F|  
KO +{/  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = h6qGlRQI  
$i/gIA.s  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Tde'0)+*(  
D, bs(Q#K  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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